本文提供三维向量相关题目的详细解答。
\( \vec{AB} = \lt x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1 > = \lt 0-2,-3-6,1-7 > = \lt -2,-9,-6> \)
\( \vec{BA} = \lt x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2 > = \lt 2-0,6-(-3),7-1 > = \lt 2,9,6>\)
\( \vec{AB} = \lt -2,-9,-6> = -1 \lt 2,9,6> = -1\vec{BA} \)
和：\( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \lt a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2> \)
差：\( \vec{v_1} - \vec{v_2} = \lt a_1 - a_2,b_1 - b_2,c_1 - c_2> \)
标量乘法：\( k \vec{v_1} = \lt k a_1,k b_1,k c_1> \)
a) 使用求和公式：
\( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \lt 0,-3,2> + \lt -3,4,5> = \lt 0+(-3) , -3+4 , 2 + 5 > = \lt -3 , 1 , 7>\)
b) 使用求差公式：
\( \vec{v_1} - \vec{v_2} = \lt 0,-3,2> - \lt -3,4,5> = \lt 0 -(-3) , -3 - 4 , 2 - 5 > = \lt 3 , -7 , -3> \)
c) 使用标量乘法公式：
\( -3\vec{v_1} = -3 \lt 0,-3,2> = \lt -3\cdot0 , -3\cdot(-3) , -3\cdot2> = \lt 0,9,-6> \)
d) 结合标量乘法和求和公式：
\( -2\vec{v_1} + 3\vec{v_2} = -2\lt 0,-3,2> + 3\lt-3,4,5> = \lt 0,6,-4> + \lt-9,12,15> = \lt -9,18,11> \)
e) 求向量 \( \vec{v_1} + k\vec{v_2} \)：
\( \vec{v_1} + k\vec{v_2} = \lt 0,-3,2> + k \lt -3,4,5> = \lt -3k ,-3+4k ,2+5k>\)
求 \( \vec{v_1} + k\vec{v_2} \) 的模并令其等于 \( \sqrt{67} \)：
\( \sqrt{(-3k)^2 + (-3+4k)^2 + (2+5k)^2} = \sqrt{67}\)
将等式两边平方：
\( (-3k)^2 + (-3+4k)^2 + (2+5k)^2 = 67\)
展开并合并同类项：
\( 50k^2-4k+13 = 67 \)
解上述一元二次方程得：
\( k = -1 \) 和 \( k = 27/25\)
与向量 \(\vec{v} \) 同方向的单位向量 \( \vec{u} \) 由下式给出：
\( \vec{u} = \dfrac{1}{|| \vec{v} ||} \vec{v} = \dfrac{1}{\sqrt{0^2+(-3)^2+2^2}} \lt 0,-3,2> = \lt 0,-3/\sqrt{13} , 2/\sqrt{13}> \)
计算 \( \vec{u} \) 的模并验证其等于1：
\( || \vec{u} || = \sqrt{ 0^2 + (-3/\sqrt{13})^2 + (2/\sqrt{13})^2 } = \sqrt{ 9/13 + 4/13} = 1\)
\( \vec{AB} = \lt x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1> = \lt 0-2,-3-6,1-7> = \lt -2,-9,-6>\)
\( \vec{BC} = \lt 0-0,3-(-3),4-1> = \lt 0,6,3>\)
\( \vec{AC} = \lt 0-2,3-6,4-7> = \lt -2,-3,-3>\)
\( \vec{AB} + \vec{BC} = \lt -2,-9,-6> + \lt 0,6,3> = \lt -2+0,-9+6,-6+3> = \lt -2,-3,-3> = \vec{AC} \)
\( \vec{AB} = \lt 2-(-1),4-2,2-1> = \lt 3,2,1>\)
\( \vec{BC} = \lt 5-2,6-4,3-2> = \lt 3,2,1>\)
\( \vec{AC} = \lt 5-(-1),6-2,3-1> = \lt 6,4,2>\)
\( \vec{AB} \) 和 \( \vec{BC} \) 分量相等，因此两向量相等。
注意：
\( \vec{AC} = \lt 6,4,2> = 2 \lt 3,2,1> = 2\vec{BC}\)
因此，\( \vec{AC} \) 与 \( \vec{BC}\) 及 \( \vec{AB} \) 平行。
\(\lt -4,0,2> - 2 \lt x,y,z \gt = 3 \lt x,y,z \gt - 3 \lt -1,-4,2> \)
进行乘法、减法和分组运算：
\( \lt -4-2x,0-2y,2-2z> = \lt 3x -3(-1) , 3y - 3(-4) , 3z - 3(2)> \)
\( \lt -4-2x,-2y,2-2z> = \lt 3x + 3 , 3y + 12 , 3z - 6> \)
两向量相等当且仅当其对应分量相等，故得方程组：
\( -4-2x = 3x + 3 \;\; , \;\; 解： x = -7/5 \)
\( -2y = 3y + 12 \;\; , \;\; 解： y = -12/5 \)
\( 2-2z = 3z - 6 \;\; , \;\; 解： z = 8/5 \)
\( \vec{v} = \lt -7/5,-12/5,8/5 \gt \)
\( \vec{u} = 2 \vec{v} = 2 \lt -4,2,2> = \lt -8 , 4 , 4> \)
\(-\dfrac{1}{||\vec{v}||} \vec{v} \)
其中 \( ||\vec{v} || \) 是 \( \vec{v} \) 的模，计算如下：
\( ||\vec{u} || =\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2} = 3\)
向量 \( \vec{u} \) 为：
\(5(-\dfrac{1}{3} \vec{v}) = (-5/3) \lt -1 , 2 , 2> = \lt 5/3 , -10/3 , -10/3>\)
首先注意：
\( ||k \vec{v} || = |k| || \vec{v} || \)
计算 \( || \vec{v} || \)：
\( || \vec{v} ||= \sqrt{(-1)^2+2^2+2^2} = 3\)
代入方程 \( ||k \vec{v} || = 1/5 \) 得：
\( 3 |k| = 1/5 \)
解得：
|k| = 1/15
两个解：
k = 1/15 和 k = - 1/15
\(\vec{v_1} = k \vec{v_2} \)
故得向量方程：
\( \lt -4,6,2> = k \lt 2,b,c> = \lt 2k , k b , k c > \)
上述向量方程给出3个分量方程：
\( -4 = 2 k \) ，故 \( k = -2 \)
\( 6 = k b = - 2 b\) ，故 \( b = -3 \)
\( 2 = k c = -2 c \) ，故 \( c = 1 \)
\( \vec{AC} = k \vec{AB} \) ，即向量 AC 与 AB 共线。
使用点A、B、C的坐标求向量 \( \vec{AC} \) 和 \( \vec{AB} \) 的分量：
\( \vec{AC} = \lt 0 - 2 , 2-6 , 3 - 7> = \lt -2 , -4 , -4>\)
\( \vec{AB} = \lt 1-2 , 4- 6 , 5 - 7> = \lt -1 , -2 , -2> \)
注意：
\( \vec{AC} = \lt -2 , -4 , -4> = 2 \lt-1 , -2 , -2> = 2 \vec{AB} \)
故：
\( \vec{AC} = 2 \vec{AB} \) ，k = 2
因此向量 \( \vec{AC} \) 与 \( \vec{AB} \) 共线，点A、B、C共线（位于同一直线上），如下方三维坐标系图示：
A(0,0,0,), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), E(0,0,2), F(2,0,2), G(2,2,2), H(0,2,2)
\( \vec{AB} = \lt 2-0,0-0,0-0> = \lt 2,0,0>\)
\( \vec{EF} = \lt2-0,0-0,2-2> = \lt2,0,0>\)
\( \vec{DC} = \lt2-0, 2-2,0-0> = \lt2,0,0> \)
\( \vec{HG} = \lt2- 0 ,2 -2, 2-2 > =\lt2,0,0> \)
\( \vec{AC} = \lt2 - 0 , 2 - 0, 0 - 0> = \lt2,2,0>\)
\( \vec{AG} = \lt2-0,2-2,2-0> = \lt2,2,2>\)
b) 向量 \( \vec{AB}\)、\( \vec{EF} \)、\( \vec{DC} \) 和 \( \vec{HG}\) 分量相等，因此这些向量相等。
c) 计算 \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} \) 和 \( \vec{AC} + \vec{CG} \) 并比较：
\( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \lt2,0,0> + \lt0,0,2> + \lt0,2,0> = \lt2,2,2> \)
\( \vec{AC} + \vec{CG} = \lt2,2,0> + \lt0,0,2> = \lt2,2,2>\)
故 \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} \) = \( \vec{AC} + \vec{CG} \)
d) 计算 \( || \vec{AG} || = \sqrt{2^2+2^2+2^2} = 2\sqrt{3}\)
e) 与向量 \( \vec{AG} \) 同方向的单位向量为：
\( \dfrac{1}{|| \vec{AG} ||} \vec{AG} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}\lt2,2,2> = \lt1/\sqrt{3} ,1/\sqrt{3} ,1/\sqrt{3} > \)