Løse ligninger med Absolute Value

Dette er en tutorial om at løse ligninger med absolut værdi. Detaljerede løsninger og forklaringer, der er inkluderet.

Eksempel 1: Løs ligningen

Løsning på Eksempel 1:

• Hvis | x + 6 | = 7, så
  a) x + 6 = 7
  eller
  b) x + 6 = -7
  
  
• Løs ligningen a)
  x + 6 = 7
  x = 1
  
  
• Løs ligningen b)
  x + 6 = -7
  x = -13
  
  

Check løsninger:

• løsning x = 1
  Venstre side af ligningen for x = 1.
  | 1 + 6 |
  7.
  7.
  Højre side af ligningen for x = 1.
  7.
• x = -13
  Venstre side af ligningen for x = 1.
  | -13 + 6 |
  7.
  7.
  Højre side af ligningen for x = 1.
  7.

Løsninger på de givne ligning er x = 1 og x = -13

Matchet Opgave 1: Løs ligningen

Answers

Eksempel 2: Løs ligningen

Løsning på Eksempel 2:

• Eftersom
  -2 | x / 2 + 3 | - 4 = -10
  
  
• Vi først skrive ligning i form | A | = B. Tilsæt 4 til begge sider og gruppen som vilkår
  -2 | x / 2 + 3 | = -6
  
  
• Divider begge sider af -2
  | x / 2 + 3 | = 3
  
  
• Vi går nu som i eksempel 1 ovenfor, ligningen
  | X / 2 + 3 | = 3 giver to ligninger.
  a) x / 2 + 3 = 3
  eller
  b) x / 2 + 3 = -3
  
  
• Løs ligningen a)
  x / 2 + 3 = 3
  
  
• at opnå
  x = 0
  
  
• Løs ligningen b)
  x / 2 + 3 = -3
  
  
• at opnå
  x = -12
  
  

Check løsninger:

• x = 0
  Venstre side af ligningen for x = 0.
  -2 | x / 2 + 3 | - 4
  = -2 | 3 | - 4
  = -10
  Højre side af ligningen for x = 1.
  -10
• x = -12
  Venstre side af ligningen for x = -12.
  -2 | x / 2 + 3 | - 4
  = -2 | -12 / 2 + 3 | - 4
  = -2 | -6 + 3 | - 4
  = -2 (3) - 4
  = -10
  Højre side af ligningen for x = -12.
  -10

Løsninger på de givne ligning er x = 0 og x = -12

Matchet Øvelse 2: Løs ligningen

Answers

Eksempel 3: Løs ligningen

Løsning på Eksempel 3:

• Hvis 2x - 2> = 0, hvilket svarer til x> = 1, så | 2x - 2 | = 2x - 2, og de givne Ligningen bliver
  2x - 2 = x + 1
  
  
• Tilsæt 2 - x til begge sider
  x = 3
  
  
• Da x = 3 opfylder betingelsen x> = 1, det er en løsning.
• Hvis 2x - 2 <0, hvilket svarer til x <1, så | 2x - 2 | = - (2x - 2) og givet ligningen bliver
  - (2x - 2) = x + 1
  
  
• Løs for x til at opnå
  x = 1 / 3
  
  
• Da x = 1 / 3 opfylder betingelsen x <1, er det en løsning.

Check-løsninger

• x = 3
  Venstre side af ligningen for x = 3.
  | 2x - 2 |
  = | 2 * 3 - 2 |
  4.
  Højre side af ligningen for x = 3.
  x + 1
  = 3 + 1
  4.
• x = 1 / 3
  Venstre side af ligningen for x = 1 / 3.
  | 2x - 2 |
  = | 2 * (1 / 3) - 2 |
  = 4 / 3
  Højre side af ligningen for x = 1 / 3.
  x + 1
  = 4 / 3

Løsninger på de givne ligning er x = 3 og x = 1 / 3

Matchet Øvelse 3: Løs ligningen

Answers

Eksempel 4: Løs ligningen

Løsning på Eksempel 3:

• Hvis x ² - 4> = 0 eller x ^2> = 4, så | x ² - 4 | = x ² - 4 og den givne ligning bliver
  x ² - 4 = x + 2
  
  
• Tilføj - (x + 2) til begge sider
  x ² - 4 - (x + 2) = 0
  
  
• Faktor venstre sigt
  (x - 2) (x + 2) - (x + 2) = 0
  
  (x + 2) (x - 2 -1) = 0
  
  (x + 2) (x - 3) = 0
  
  
• Brug af faktor sætning, kan vi skrive to enkle ligninger
  x + 2 = 0
  eller
  x - 3 = 0
  
  
• Løs ovenstående ligninger for x til at finde to værdier af x, der gør den venstre side af ligningen er lig med nul.
  x = -2 og x = 3.
  
  
• Begge værdier opfylder betingelsen x ^2> = 4 og er løsninger på de givne ligning.
  x = -2 og x = 3.
  
  
• Hvis x ² - 4 <0 eller x ² <4, så | x ² - 4 | = - (x ² - 4) og de givne ligning bliver.
  - (x ² - 4) = x + 2
  
  - (x ² - 4) - (x + 2) = 0
  
  
• Faktor venstre sigt.
  - (x - 2) (x + 2) - (x + 2) = 0
  
  (x - 2) (x + 2) + (x + 2) = 0
  
  (x - 2) (x + 2) + (x + 2) = 0
  
  (x + 2) (x - 2 + 1) = 0
  
  (x + 2) (x - 1) = 0
  
  
• To værdier gør den venstre side af ovenstående ligning lig med nul
  x = -2 og x = 1.
  
  
• Kun x = 1 opfylder betingelsen x ² <4
  

Check løsninger:

• x = -2
  Højre side af ligningen = | x ² - 4 |
  = | (-2) ² - 4 | = 0
  Venstre side af ligningen = x + 2 = -2 + 2 = 0
  
  
• x = 3 Venstre side af ligningen = | x ² - 4 |
  = | 3 ² - 4 |
  = | 5 |
  = 5 højre side af ligningen = x + 2 = 3 + 2 = 5
• x = 1
  Venstre side af ligningen = | x ² - 4 |
  = | 1 ² - 4 | = | - 3 | = 3 højre side af ligningen = x + 2 = 1 + 2 = 3

Konklusion

Løsninger på de givne ligning er x = -2, x = 1 og x = 3.

Matchet Øvelse 4: Løs ligningen

Answers

Øvelser. (Se svarene nedenfor)

Løs følgende absolutte værdi ligninger

a) | x - 4 | = 9

b) | x ² + 4 | = 5

c) | x ² - 9 | = x + 3

d) | x + 1 | = x - 3

e) |-x | = 2

Svar på Over Øvelser.

a) -5, 13

b) -1, 1

c) -3, 2, 4

d) ingen reelle løsninger

e) -2, 2

Flere henvisninger og links om, hvordan man løse ligninger, Systemer af Ligninger og Uligheder.