Løse ligninger af Quadratic Form - Tutorial

Dette er en tutorial om at løse ligninger, som kan reduceres til kvadratisk form. Detaljerede løsninger og forklaringer, der er inkluderet.

Gennemgang

En andengradsligning har form

Der er flere metoder til at løse kvadratiske ligninger. I dette selvstudium vi bruger metoden til den kvadratiske formlen og metoden til factoring.

Eksempel 1: Find alle reelle løsninger til ligningen.

Løsning på Eksempel 1:

• Eftersom
  x ⁴ + x ² - 6 = 0
  
  
• Da (x ^{2) 2} = x ^4, lad u = x ² og omskrive ligningen i løbetid u.
  u ² + u - 6 = 0
  
  
• Faktor i venstre side.
  (u + 3) (u - 2) = 0
  
  
• Brug nul faktor sætning at få simple ligninger.
  a) (u + 3) = 0
  b) u - 2 = 0
  
  
• Løs ligningen a).
  u = -3
  
  
• Løs ligningen b).
  u = 2
  
  
• Brug den omstændighed, at u = x ^2, den første løsning i u giver,
  x ² = -3
  
  
• og den anden løsning giver.
  x ² = 2
  
  
• Kvadratet på et reelt tal kan ikke være negativ, og derfor ligningen x ² = -3 ikke har nogen reelle løsninger. Den anden ligning er løst ved at uddrage kvadratroden og giver to løsninger.
  x = sqrt (2)
  
  x =-sqrt (2)
  
  

Check Solutions

1. x = sqrt (2)
   Venstre side af ligningen = sqrt (2) ⁴ + sqrt (2) ² - 6
   = 4 + 2 - 6
   0
   Højre side af ligningen = 0.
   
   
2. x =-sqrt (2)
   Venstre side af ligningen = (-sqrt (2)) ⁴ + (-sqrt (2)) ² - 6
   = 4 + 2 - 6
   0
   Højre side af ligningen = 0.

Konklusion: Den virkelige løsninger på de givne ligningen er sqrt (2) og-sqrt (2)

Matchet Øvelse 1: Find alle reelle løsninger til ligningen.

Svar

Eksempel 2: Find alle reelle løsninger til ligningen

Løsning på Eksempel 2:

• Eftersom
  2 x + 3 * sqrt (x) = 5
  
  
• Bemærk, at sqrt (x) betyder x er nødt til at være positiv eller nul. Da [sqrt (x)] ² = x, lad u = sqrt (x) og omskrive ligningen i løbetid u.
  2u ² + 3u = 5
  
  
• Omskrive ligning med den højre side lig med 0.
  2u ² + 3u - 5 = 0
  
  
• Brug den kvadratiske formel. Den diskriminant D er givet ved
  D = b ² - 4ac
  = (3) ² - 4 (2) (-5)
  = 49
  
  
• Brug den kvadratiske formlen til at skrive de to løsninger, som følger.
  u ₁ = (-b + sqrt (D)) / 2a
  og
  u ₂ = (-b - sqrt (D)) / 2a
  
  
• Stedfortræder B, D og en af deres værdier.
  u ₁ = (-3 + sqrt (49)) / 4
  og
  u ₂ = (-3 - sqrt (49)) / 4
  
  
• Forenkle ovenstående udtryk.
  u ₁ = 1 og u ₂ = -5 / ₂
  
  
• Vi bruger nu den omstændighed, at u = sqrt (x) og løse for x. Den første løsning u ₁ giver
  sqrt (x) = 1
  
  
• Square begge sider til at opnå
  x = 1
  
  
• Den anden løsning u ₂ giver
  sqrt (x) = -5 / 2
  
  
• Denne sidste ligning har ingen reelle løsninger, da kvadratroden af et reelt positivt tal er skal være et reelt positivt tal.
  
  

Check løsninger x = 1 Venstre side = 2 (1) + 3 * sqrt (1)
= 5
Højre = 5

Konklusion:
Den virkelige løsning på den givne ligning er x = 1.

Matchet Øvelse 2. Find alle reelle løsninger til ligningen.

Svar

Flere henvisninger og links om, hvordan man løse ligninger, Systemer af Ligninger og Uligheder.