| Gennemgang
De løsninger til ovennævnte andengradsligning er givet ved den kvadratiske formel
x 1 = [-b + sqrt (D)] / (2a) og x 2 = [-b - sqrt (D)] / (2a) hvor D = b 2 - 4ac kaldes diskriminant og giver oplysninger om antallet og arten af de løsninger til kvadratiske ligninger. Tre muligheder: - Hvis D> 0, andengradsligning har 2 rigtige løsninger.
- Hvis D = 0, andengradsligning har 1 rigtige løsning.
- Hvis D <0, ligning har 2 konjugeret imaginære løsninger.
Interactive Tutorials Klik på knappen ovenover "klik her for at starte" for at starte applet og maksimere vinduet opnået.
Eksempel 1: Løs grafisk og analytisk ligningen
2 x 2 + 3x - 5 = 0 Løsning på Eksempel 1: Grafisk løsning: Brug appletten til at fastsætte koefficienterne a = 2, b = 3 og c = -5 og graf ligningen y = 2 x 2 + 3x - 5. De løsninger til ligning 2 x 2 + 3x - 5 = 0 svarer til punkter på grafen, som y = 0, der er x aflytninger: skaeringspunkterne for grafen med x-aksen. Disse er ca x 1 = 1 og x 2 = -2,5. Analytisk løsning: - Eftersom
2 x 2 + 3x - 5 = 0
- Den diskriminant D = b 2 - 4ac
D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 (2) (-5) = 49
- Diskriminant D er positivt, at ligningen har to reelle løsninger på grund af.
x 1 = [-3 + sqrt (49)] / (2 * 2) = 1
x 2 = [-3 - sqrt (49)] / (2 * 2) = -2,5
Det grafiske og analytiske løsninger er ens. Men i almindelighed grafiske løsninger er kun omtrentlige. Eksempel 2: Løs grafisk og analytisk ligningen
x 2 + 4x + 4 = 0 Løsning på Eksempel 2: Grafisk løsning: Brug appletten til at fastsætte koefficienterne a = 1, b = 4 og c = 4 og figur ligningen y = x 2 + 4x + 4. Der er en x-aksen og grafen tangerer x-aksen, men ikke klippe det. Disse kaldes dobbelt eller gentagne soultions. x = -2 Analytisk løsning: - Eftersom
x 2 + 4x + 4 = 0
- Den diskriminant D = b 2 - 4ac
D = 16 - 4 * 4 = 0
- Diskriminant D er lig med nul, ligningen har en dobbelt løsning givet ved.
x =-b / 2 a = -4 / 2 (1) = -2
Det grafiske og analytiske løsninger er ens. Eksempel 3: Løs grafisk og analytisk ligningen
- X 2 + 4 x - 5 = 0 Løsning på Eksempel 3: Grafisk løsning: Brug appletten til at fastsætte koefficienterne a = -1, b = 4 og c = -5 og graf ligningen y = - x 2 + 4 x - 5. Der er ingen x aflytninger og derfor ovenstående ligning ikke har nogen reelle løsninger. Analytisk løsning: - Eftersom
- X 2 + 4 x - 5 = 0
- Den diskriminant D = b 2 - 4ac
D = b 2 - 4ac = 4 2 - 4 (-1) (-5) = -4
- Diskriminant D er positivt, at ligningen har to imaginære konjugat løsninger på grund af.
x 1 = [-4 + sqrt (-4)] / (2 * (-1)) = 2 - i
x 2 = [-4 - sqrt (-4)] / (2 * (-1)) = 2 + i
Vi kan ikke bruge den grafiske metode til at finde imaginære løsninger til en ligning. Øvelser: Løs grafisk (ved hjælp af applet) og analytisk følgende kvadratiske ligninger.
1:-x 2 - 2 x = 1
2: x 2 + 2 x + 10 = 0
3: x 2 + 2 x = 0 Løsninger til Over Øvelser
1: grafisk: en dobbelt løsning -1, analytiske: en dobbelt løsning -1
2: grafisk: ingen, analytisk: to imaginære konjugat løsninger: -1 - 3i og -1 + 3i
3: grafisk: 0 og -2, analytisk: 0 og -2 Flere henvisninger og links til kvadratiske ligninger.
|