| |
| Gennemgang Vi starter med de egenskaber grafen af de grundlæggende logaritmisk funktion af en base, f (x) = log a (x), a> 0 og en ikke lig med 1. Domænet for funktion f er intervallet (0, + inf). Rækken af f er intervallet (-inf, + inf). Symbolet inf betyder uendelig. Funktion f har en lodret asymptote givet ved x = 0. Denne funktion har en x-skæringspunkt i (1, 0). f stiger som x stiger. Eksempel 1: f er en funktion givet ved f (x) = log 2 (x + 2)
Svar på Eksempel 1 a - domænet for f er mængden af alle x-værdier, således at x + 2 > 0 eller x > -2 Rækken af f er intervallet (-inf, + inf). b - Den lodrette asymptote er opnået ved at løse x + 2 = 0 som giver x = -2 Som x tilgange -2 fra højre (x> -2), f (x) falder uden bundet. Hvordan kan vi vide det? Lad os tage nogle værdier: f (-1) = log 2 (-1 + 2) = log 2 (1) = 0 f (-1,5) = log 2 (-1,5 + 2) = log 2 (1 / 2) = -1 f (-1,99) = log 2 (-1,99 + 2) = log 2 (0,01), der er omtrent lig -6,64 f (-1,999999) = log 2 (-1,999999 + 2) = log 2 (0,000001), der er omtrent lig -19,93. C - at finde den x aflytte vi nødt til at løse ligningen f (x) = 0 log 2 (x + 2) = 0 Brug egenskaber logaritmisk og eksponentielle funktioner til at skrive ovenstående ligning som x + 2 = 1 x = -1 X-skæringspunkt er (-1, 0). Det med y-aksen er givet ved (0, f (0)) = (0, log 2 (0 + 2)) = (0, 1). d - Hidtil har vi det domæne, rækkevidde, x og y aflytninger og den lodrette asymptote. Vi har brug for flere point. Lad os betragte et punkt på x = -3 / 2 (halvvejs mellem x-aksen og den lodrette asymptote) og et andet punkt på x = 2. f (-3 / 2) = log 2 (-3 / 2 + 2) = log 2 (1 / 2) = log 2 (2 -1) = -1. f (2) = log 2 (2 + 2) = log 2 (2 2) = 2. Vi har nu flere oplysninger om, hvordan grafen f. Grafen stiger som x stiger. Tæt på den lodrette asymptote x = -2, grafen for f bundet falder uden for x nærmer -2 fra højre. Grafen aldrig skærer den lodrette asymptote. Vi har nu slutte sig til de forskellige punkter i en jævn kurve.
Matchet Problem at Eksempel 1: f er en funktion givet ved f (x) = log 2 (x + 3)
Eksempel 2: f er en funktion givet ved f (x) = -3ln (x - 4)
Svar på Eksempel 2 a - domænet for f er mængden af alle x-værdier, således at x - 4 > 0 eller x > 4 Rækken af f er intervallet (-inf, + inf). b - Den lodrette asymptote er opnået ved at løse x - 4 = 0 eller x = 4 Som x nærmer sig 4 fra højre (x> 4), f (x) stiger uden bundet. Hvordan kan vi vide det? Lad os tage nogle værdier: f (5) = ln (5-4) =-3ln (1) = 0 f (4,001) =-3ln (0,001), der er omtrent lig 20,72. f (4.000001) =-3ln (0,000001), der er omtrent lig 41,45. c - at finde den x aflytte vi nødt til at løse ligningen f (x) = 0 -3ln (x - 4) = 0 Divider begge sider af -3 til at opnå ln (x - 4) = 0 Brug egenskaber logaritmisk og eksponentielle funktioner til at skrive ovenstående ligning som e ln (x - 4) = e 0 Så forenkle x - 4 = 1 x = 5 X skæringspunkt er på (5, 0). Det med y-aksen er givet ved (0, f (0)). f (0) er udefineret, da x = 0 er ikke en værdi i domænet for f. Der er ingen y-aksen. d - Hidtil har vi det domæne, rækkevidde, x-aksen og den lodrette asymptote. Vi har brug for ekstra point for at være i stand til grafen f. f (4,5) =-3ln (4,5 - 4) omtrent svarende til 2,08 f (8) =-3ln (8 - 4) omtrent lig - 4.16 f (14) =-3ln (14 - 4) omtrent lige til - 6,91 Lad os nu skitse alle punkter, og den lodrette asymptote. Join the point ved en jævn kurve og f stiger som x nærmer sig 4 fra højre.
Matchet Problem til Eksempel 2: f er en funktion givet ved f (x) = 2ln (x + 5)
Eksempel 3: f er en funktion givet ved f (x) = 2ln (| X |)
Svar på Eksempel 3 a - domænet for f er mængden af alle x-værdier, således at |x| > 0 Domænet er mængden af alle reelle tal undtagen 0. Rækken af f er intervallet (-inf, + inf). b - Den lodrette asymptote er opnået ved at løse |x| = 0 som giver x = 0 Som x tilgange 0 fra højre (x> 0), f (x) falder uden bundet. Hvordan kan vi vide det? Lad os tage nogle værdier: f (1) = 2 ln (| 1 |) = 0 f (0.1) = 2ln (0.1), der er omtrent lig med -4,61. f (0,0001) = 2ln (0,0001), der er omtrent lig -18,42. f (0.0000001) = 2ln (0,0000001), der er omtrent lig -32,24. Som x tilgange 0 fra venstre (x <0), f (x) falder uden bundet. Hvordan kan vi vide det? Lad os tage nogle værdier: f (-1) = 2 ln (| -1 |) = 0 f (-0,1) = 2ln (| -0,1 |), der er omtrent lig med -4,61. f (-0,0001) = 2ln (| -0,0001 |), der er omtrent lig -18,42. f (-0,0000001) = 2ln (| -0,0000001 |), der er omtrent lig -32,24. C - at finde den x aflytte vi nødt til at løse ligningen f (x) = 0 2ln (| x |) = 0 Divider begge sider med 2 for at opnå ln (| x |) = 0 Brug egenskaber logaritmisk og eksponentielle funktioner til at skrive ovenstående ligning som e ln (| x |) = e 0 Så forenkle | X | = 1 To x aflytninger på 1, 0 () og (-1, 0). Det med y-aksen er givet ved (0, f (0)). f (0) er udefineret, da x = 0 er ikke en værdi i domænet for f. Der er ingen y-aksen. d - Hidtil har vi det domæne, rækkevidde, x-aksen og den lodrette asymptote. Ved at undersøge funktion f er det let at vise, at dette er en endnu funktion og dens graf er symmetrisk med hensyn til y-aksen. f (-x) = 2 ln (|-x |) men |-x | = | x | og derfor f (x) = 2 ln (| x |) = f (x), dette viser, at f er en lige funktion. Lad os finde ekstra point. f (4) = 2ln (| 4 |) omtrent lig med 2,77. f (0,5) = 2ln (| 0,5 |) omtrent lig - 1.39. Da f er endnu f (-4) = f (4) og f (-0,5) = f (0,5). Lad os nu skitsere alle de punkter, den lodrette asymptote og Join the point ved en jævn kurve.
Matchet Problem til Eksempel 3: f er en funktion givet ved f (x) =-2ln (x 2)
Flere referencer på logaritmiske funktioner og grafik. |
