| |
| Definition En rationel funktion f har form
hvor g (x) og h (x) er polynomium funktioner. Domænet for f er mængden af alle reelle tal undtagen de værdier af x, der gør nævneren h (x) nul. I det følgende antager vi, at g (x) og h (x) ikke har nogen fælles faktorer. Lodrette asymptoter Lade
Domænet for f er mængden af alle reelle tal undtagen 3, da 3 gør nævneren nul og division med nul er ikke tilladt i matematik. Men vi kan forsøge at finde ud af, hvordan grafen for f opfører sig tæt på 3. lad os evaluere funktionen f på værdier af x tæt på 3, således at x <3. De værdier er vist i tabellen nedenfor:
Lad os nu vurdere f på værdier af x tæt på 3, således at x> 3.
Grafen for f er vist nedenfor.
Noter 1 - Som x nærmer sig 3 fra venstre eller ved værdier mindre end 3, f (x) falder uden bundet. 2 - Som x nærmer sig 3 fra højre eller ved værdier større end 3, f (x) stiger uden bundet. Vi siger, at linjen x = 3, stiplede linje, er den lodrette asymptote for grafen for f. I almindelighed, linjen x = a er en lodret asymptote til grafen for f, hvis f (x) enten stiger eller falder uden bundet som x nærmer sig et fra højre eller fra venstre. Dette er symbolsk skrives som:
Vandrette asymptoter Lade
1 - Lad x vækst og finde værdier af f (x).
2 - Lad x falde og finde værdier af f (x).
Da | x | stigninger, tælleren er domineret af udtrykket 2x og tælleren har kun én valgperiode x. Derfor er f (x) tager værdier tæt på 2x / x = 2. Se grafisk opførsel nedenfor.
I almindelighed, linjen y = b er en vandret asymptote for grafen for f, hvis f (x) nærmer sig et konstant b som x stiger eller falder uden bundet. Sådan finder du den vandrette asymptote? Lad f være en rationel funktion defineret som følger
Theorem m er graden af polynomiet i tælleren og n er graden af polynomiet i tælleren. case 1: For m <n, den vandrette asymptote er linjen y = 0. case 2: For m = n, den vandrette asymptote er linjen y = a m / b n case 3: For m> n, er der ingen vandret asymptote. Eksempel 1: Lad f være en rationel funktion defineret ved
en - Find det domæne f. b - Find x og y aflytninger af grafen for f. c - Find den lodrette og vandrette asymptoter til grafen for f, hvis der er nogen. d - Brug dine svar til dele a, b og c ovenfor for at skitsere grafen for funktionen f. Svar på Eksempel 1 a - domænet for f er mængden af alle reelle tal undtagen x = 1, da denne værdi x gør nævneren nul. B - x skæring findes ved at løse f (x) = 0 eller x +1 = 0. X opfange er på det punkt (-1, 0). Det med y-aksen er på det punkt (0, f (0)) = (0, -1). C - Den lodrette asymptote er givet ved nul i nævneren x = 1. Graden af tælleren er 1 og graden af nævneren er 1. De er lige, og ifølge sætningen ovenfor, den vandrette asymptote er linjen y = 1 / 1 = 1 e - Selv om dele a, b og c give nogle vigtige oplysninger om grafen for f, er vi stadig nødt til at konstruere et tegn tabel for funktionen f med henblik på at kunne skitsere med lethed. Tegnet af f (x) ændringer i nuller af tælleren og nævneren. At finde tegnet bordet, fortsætter vi som i løsningen rationel uligheder. Den nuller af tæller og nævner som er -1 og 1 opdeler det reelle antal linje i 3 intervaller: (- Uendelig, -1), (-1, 1), (1, + uendelig). Vi udvælger en test værdi inden for hvert interval, og finde tegnet af f (x). I (- uendelig, -1), vælge -2 og finde f (-2) = (-2 + 1) / (-2 - 1) = 1 / 3> 0. I (-1, 1), vælg 0 og finde f (0) = -1 <0. I (1 + uendelig), vælg 2 og finde f (2) = (2 + 1) / (2 - 1) = 3> 0. Lad os lægge alle oplysninger om f i en tabel.
I ovenstående tabel VA betyder lodret asymptote. At tegne grafen for f, vi starter med at tegne x og y aflytninger og de lodrette og vandrette asymptoter i brudte linjer. Se skitse nedenfor.
Vi har nu tegne grafen for f startende fra venstre. I intervallet (-inf,) -1 f (x) er positiv dermed grafen over x-aksen. Startende fra venstre, vi skitse f, idet der tages hensyn til, at y = 1 er en vandret asymptote: Grafen for f er tæt på denne linje til venstre. Se skitse nedenfor.
Mellem -1 og 1 f (x) er negativ, hvorfor grafen for f ligger under x-aksen. (0, -1) er y-aksen og x = 1 er en lodret asymptote: som x nærmer sig 1 fra venstre f (x) deceases uden bundet, da f (x) <0 i (-1, 1). Se skitse nedenfor.
For x> 1, f (x)> 0 dermed grafen over x-aksen. Som x nærmer sig 1 fra højre, grafen for f stigninger uden bundet (f (x)> 0). Også som x stiger, grafen for f tilgange y = 1 vandret asymptote. Se skitse nedenfor.
Vi har nu sat alle "stykker" af grafen for f sammen for at få grafen for f.
Matchet Problem: Lad f være en rationel funktion defineret ved f (x) = (-x + 2) / (x + 4) en - Find det domæne f. b - Find x og y aflytninger af grafen for f. c - Find den lodrette og vandrette asymptoter til grafen for f, hvis der er nogen. d - Brug dine svar til dele a, b og c ovenfor for at skitsere grafen for funktionen f. Flere referencer på graftegning og rationelle funktioner. |
