Graf stykkevis Funktioner

Definition af stykkevis funktioner

En stykkevis funktion er normalt defineret ved mere end én formel: en fomula for hvert interval.

Eksempel 1:

f (x) = - x hvis x <= 2

         = x hvis x> 2

Hvad ovennævnte siger, er, at hvis x er mindre end eller lig med 2, formlen for den funktion f (x) =-x, og hvis x er større end 2, men formlen er f (x) = x. Det er også vigtigt at bemærke, at domænet i funktion f defineret ovenfor er mængden af alle de reelle tal, da f er defineret overalt for alle reelle tal.

Eksempel 2:

f (x) = 2 hvis x >-3

         = -5 Hvis x <-3

Ovenstående funktion er konstant og lig med 2 hvis x er større end -3. funktion f er også konstant og lig med -5 hvis x er mindre end -3. Det kan siges, at funktionen f er stykkevis konstant. Domænet for f givet ovenfor, er mængden af alle reelle tal undtagen -3: hvis x = -3 funktion f er udefineret.

Eksempel 3:

Funktioner, der involverer absolut værdi er også et godt eksempel på stykkevis funktioner.

f (x) = | x |

Brug af definitionen af den absolutte værdi, funktion f givet ovenfor kan skrives

f (x) = x hvis x> = 0

         = -x hvis x <0

Domænet af ovenstående funktion er mængden af alle reelle tal.

Eksempel 4:

Et andet eksempel involverer absolut vaule.

f (x) = | x + 6 |

Ovenstående funktion kan skrives som

f (x) = x + 6 hvis x> = -6

         = - (X + 6), hvis x <-6

Ovenstående funktion er defineret for alle reelle tal.

Eksempel 5:

Et andet eksempel, der involverer mere end to intervaller.

f (x) = x ² - 3, hvis x <= -10

         = - 2x + 1, hvis -10 <x <= -2

         = - x ³ hvis 2 <x <4

        = ln x hvis x> 4

Ovenstående funktion er defineret for alle reelle tal undtagen for værdier af x i intervallet (-2, 2] og x = 4.

Eksempel 6: f er en funktion defineret ved

f (x) = -1 hvis x <= -2

         = 2 hvis x >-2

Find domæne og vifte af funktion f og grafen det.

Løsning på Eksempel 6:

Funktion f er defineret for alle reelle værdier af x. Domænet for f er mængden af alle reelle tal. Vi vil grafen det ved at overveje værdien af funktionen i hvert interval.

I intervallet (- inf, -2] grafen for f er en vandret linje y = f (x) = -1 (se formel for dette interval ovenfor). Også dette interval er lukket ved x = -2 og derfor grafen skal vise dette: se "lukket punkt" på grafen ved x = -2.

I intervallet (-2, inf) + grafen er en vandret linje y = f (x) = 2 (se formel for dette interval ovenfor). Interval (-2, + inf) er åben ved x = -2 og grafen viser dette med et "åbent punkt". Funktion f kan kun tage to værdier: -1 og 2. Den interval er givet ved -1, 2 ()

Eksempel 7: f er en funktion defineret ved

f (x) = x ² + 1 hvis x <2

         = - x + 3, hvis x> = 2

Find domæne og vifte af funktion f og grafen det.

Løsning på Eksempel 7:

Domænet for f er mængden af alle reelle tal, da funktionen f er defineret for alle reelle værdier af x.

I intervallet (- inf, flyttet 2) grafen for f er en parabel op 1 enhed. Også dette interval er åben på x = 2 og dermed grafen viser et "åbent punkt" på grafen på x = 2.

I intervallet [2, + inf) grafen er en linje med en x aflytte på 3, 0 () og går gennem punktet (2, 1). Intervallet [2, + inf) er lukket ved x = 2 og grafen viser en "lukket punkt". Fra grafen, kan vi konstatere, at funktionen f kan antage alle reelle værdier. Sortimentet er givet ved (- inf, + inf).

Eksempel 8: f er en funktion defineret ved

f (x) = 1 / x hvis x <0

         = e^-x hvis x> = 0

Find domæne og vifte af funktion f og grafen det.

Løsning på Eksempel 8:

Domænet for f er mængden af alle reelle tal, da funktionen f er defineret for alle reelle værdier af x.

I intervallet (- inf, 0) grafen for f er en hyperbel med lodret asymptote ved x = 0.

I intervallet [0, + inf) grafen er aftagende eksponentiel og går gennem punktet (0, 1). Intervallet [0, + inf) er lukket ved x = 0, og grafen viser en "lukket punkt".

Som x bliver meget små, 1 / x nærmer sig nul. Som x bliver meget stor, ^e-x også nærmer sig nul. Derfor linjen y = 0 er vandret asymptote til grafen for f.

Fra grafen for f er vist nedenfor, kan vi konstatere, at funktionen f kan antage alle reelle værdier (- inf, 0) U (0, 1], som er rækken af funktionen f.

Eksempel 9: f er en funktion defineret ved

f (x) = -1 hvis x <= -1

         = 1, hvis -1 <x <= 1

         = x hvis x> 1

Find domæne og vifte af funktion f og grafen det.