Kvadratiske funktioner (General Form)

Du kan også bruge denne applet til at udforske forholdet mellem x aflytninger af grafen for en kvadratisk funktion f (x) og de løsninger for den tilsvarende andengradsligning f (x) = 0. Efterforskningen gennemføres ved at ændre værdierne af 3 koefficienter a, b og c indgår i definitionen af f (x).

Når du er færdig med denne tutorial, kan du ønsker at gå gennem selvstudier om kvadratiske funktioner og grafisk kvadratiske funktioner .

Hvis det er nødvendigt, Gratis millimeterpapir er til rådighed.

Eksempler på kvadratiske funktioner

1. f (x) =-2x ² + x - 1
2. f (x) = x ² + 3x + 2

Interaktivt selvstudium (1)
Knappen nedenfor starter applet på en separat stor skærm.







Your browser is completely ignoring the <APPLET> tag!

• Klik på knappen ovenfor "klik her for at starte" for at starte applet og maksimere vinduet opnået.
• Brug scrollbars i venstre panel af applet-vinduet for at indstille koefficienter a, b og c til værdierne i ovenstående eksempler og observere graf opnået. Bemærk, at grafen svarer til en del a) er en parabel åbning ned siden koefficient a er negativ og grafen svarende til en del b) er en parabel åbning da koefficient a er positiv. Du kan ændre værdierne i koefficienten a, b og c og observere grafer opnået.
• Angiv en nul og forklare grafen opnået. Hvilke ord i ax ² + bx + c giver Parabolic form?
  
  

  Answers

• Given funktion f (x)
  f (x) = ax ² + bx + c
  
  
• faktor koefficient en ud af de vilkår i x ² og x
  f (x) = a [x ² + (b / a) x] + c
  
  
• lægger til og trækker (b/2a) ² inde i parenteser
  f (x) = a [x ² + (b / a) x + (b/2a) 2 - (b/2a) ²] + c
  
  
• Bemærk, at
  x ² + (b / a) x + (b/2a) ²
  
  
• kan skrives som
  [X + (b/2a)] ²
  
  
• Vi har nu skrive f som følger
  f (x) = a [x + (b/2a)] ² - a (b/2a) ² + c
  
  
• der kan skrives som
  f (x) = a [x + (b/2a)] ² - (b ² / 4a) + c
  
  
• Dette er standard form af en kvadratisk funktion med
  h = -b / 2a
  k = c - b ² / (4a)
  
  

• given funktion
  f (x) = -2x ² + 4x + 1
  
  
• faktor -2 ud
  f (x) = -2 (x ² - 2x) + 1
  
  
• Vi har nu opdele koefficienten til x der er -2 med 2, og det giver -1.
  f (x) = -2 (x ² - 2x + (-1) ² - (-1) ²) + 1
  
  
• lægger til og trækker (-1) ² i parentes
  f (x) = -2 (x ² - 2x + (-1) ²) + 2 + 1
  
  
• gruppe som salgs-og skrive i standard form
  f (x) = -2 (x - 1) ² + 3
  
  
• Ovenstående giver h = 1 og k = 3.
  
  
• h og k kan også findes ved hjælp af formlen for h og k er fremstillet ovenfor.
  h = -b/2a = -4 / (2 *- 2) = 1
  
  k = c - b ² / (4a) = 1 - 4 ² / (4 *- 2) = 3
  
  
• Issen af grafen er (1,3).
  
  

• Gå tilbage til applet vinduet og sæt en til -2, b til 4 og c til 1 (værdier anvendt i ovenstående eksempel). Kontroller at grafen åbner ned (a <0), og at Isse er på det punkt (1,3) og er et maksimum point.


• Brug applet vinduet og sæt en til 1, b til -2 og c til 0, f (x) = x ² - 2x. Kontroller at grafen åbner (a> 0), og at Isse er på det punkt (1, -1) og er et minimum punkt.

1. f (x) = x ² + 2x - 3
2. g (x) =-x ² + 2x - 1
3. h (x) =-2x ² + 2x - 2

1. For at finde den x aflytninger, vi løser
   
   x ² + 2x - 3 = 0
   
   diskriminant D = 2² - 4 * 1 * (-3) = 16
   
   to reelle løsninger:
   x1 = (-2 + sqrt (16)) / (2 * 1) = 1
   og
   x2 = (-2 - sqrt (16)) / (2 * 1) = -3
   
   Grafen for funktionen i del a) har to x aflytninger er på de punkter (1,0) og (-3,0)
   
   
2. Vi løser-x ² + 2x - 1 = 0
   
   diskriminant D = 2² - 4 * (-1) * (-1) = 0
   
   en gentagen reelle løsninger x1 = -b/2a = -2/-2 = 1
   
   Grafen for funktionen i del b) har én x aflytte på (1,0).
   
   
3. Vi løser-2x ² + 2x - 2 = 0
   
   diskriminant D = 2² - 4 * (-2) * (-2) = -12
   
   Ingen reelle løsninger til ovennævnte ligning
   
   Nr. x opfange for grafen af funktionen i del c).
   
   

• Gå til applet vinduet og sæt værdier a, b og c for hver af de eksempler i dele a, b og c ovenfor og se diskriminant og x aflytninger af de tilsvarende grafer.
• Brug applet vindue for at finde alle x aflytninger af følgende kvadratiske funktioner.
  a) f (x) = x ² + x - 2
  b) g (x) = 4x ² + x + 1
  a) h (x) = x ² - 4x + 4
  Brug analysemetode er beskrevet i ovenstående eksempel til at finde x opfanger og sammenligne resultaterne.
• Brug applet vinduet og sæt a, b og c til værdier, således at b ² - 4ac <0. Hvor mange x-aflytninger grafen for f (x) har?
• Brug applet vinduet og sæt a, b og c til værdier, således at b ² - 4ac = 0. Hvor mange x-aflytninger grafen for f (x) har?
• Brug applet vinduet og sæt a, b og c til værdier, således at b ² - 4ac> 0. Hvor mange x-aflytninger grafen for f (x) har?

Answers

1. f (x) = x ² + 2x - 3
2. g (x) = 4x ² - x + 1
3. h (x) =-x ² + 4x + 4

1. f (0) = -3. Grafen for f har ay aflytte på (0, -3).
   
2. g (0) = 1. Grafen for g har ay aflytte på (0,1).
   
3. h (0) = 4. Grafen for h har ay aflytte på (0,4).

• Brug applet vindue for at tjekke med y-aksen for den kvadratiske funktioner i ovenstående eksempel.
• Brug applet vindue for at tjekke med y-aksen er på det punkt (0, c) for forskellige værdier af c.

NEXT

Mere om kvadratiske funktioner og relaterede emner

• Derivater af Kvadratisk funktioner : Udforsk den kvadratiske funktion f (x) = ax ² + bx + c og dens afledte grafisk og analytisk.



• Find Vertex og Stopper af Kvadratisk Funktioner - Lommeregner: En applet til at løse beregne Isse og x og y aflytninger af grafen for en kvadratisk funktion.



• Tutorial om Kvadratisk Funktioner (1).
  
  
• Kvadratiske funktioner - Problemer (1).
  
  
• graftegning kvadratiske funktioner .
  
  
• kvadratiske funktioner i Isse form .