| De vergelijking en de eigenschappen van een hyperbool zijn onderzocht met behulp van een interactief applet. De gebruikte formule heeft de vorm
x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1
waarbij a en b zijn positieve reële getallen.
De verkenning is uitgevoerd door het veranderen van de parameters a en b zijn opgenomen in de bovenstaande vergelijking. Vergelijkbare interactieve leerprogramma's op de vergelijking van de ellips , parabool en de cirkel is te vinden op deze site.
Ook een tutorial over het vinden van eigenschappen van hyperbolen analytisch kan worden gevonden op deze site.
Interactieve handleiding
- klik op de knop hierboven "klik hier om te starten" en het maximaliseren van het venster verkregen.
- Wanneer de applet is elk van deze parameters gestart a en b in de vergelijking van het bovenstaande hyperbool is gelijk aan 1. Als om bepaalde redenen zijn ze niet, gebruik dan de schuifregelaars boven / links naar elk van hen ingesteld op 1.
In het hoofdvenster, een hyperbool wordt uitgezet. Let op het volgende: F en F 'zijn de brandpunten (meervoud van Focus), V en V' zijn de hoekpunten van de hyperbool. In het hoofdmenu, boven / links, D1 en D2 zijn de afstanden van F naar M en van F naar M, respectievelijk.
d1 = de afstand van F naar M
d2 = de afstand van F' naar M
indien punt M is een marker die overal kan worden geplaatst door te klikken op de gewenste positie.
- Verken de definitie van de hyperbool
Klik ergens op de grafiek van de hyperbool (blauw), dus pas dat het punt M op de grafiek. Lees afstanden D1 en D2 (boven / links) en vind de absolute waarde van hun verschil: | d1 - d2 |. Herhaal dit experiment meerdere malen. Toon aan dat dit verschil constant is (ongeveer). Definieer de verzameling van punten die een hyperbool te maken.
- Foci
Stel de parameters a en b tot en met 1 op 1. Klik op F op het standpunt van M op V, lees dan de coördinaten van M (boven / links): M (1.4, 0). Dit zijn de coördinaten van F van de vorm (c, 0). Controleer dat
c = sqrt (a 2 + b 2)
waar sqrt betekent wortel
Klik op F 'en controleer of F' heeft als coördinaten (-c, 0). Herhaal deze laatste experiment voor verschillende waarden van a en b.
- Hoekpunten
V en V 'zijn de x onderschept van de grafiek van de parabool. Toon analytisch dat V en V 'heeft coördinaten (a, 0) en (-a, 0), respectievelijk. Check deze resultaten grafisch door het lezen van de coördinaten van V en V '. (Stel een op waarden zoals 1.0, 2.0 ...).
- Asymptoten
De asymptoten zijn de twee rode onderbroken lijnen. Wat zijn ze?
Herschrijf de vergelijking van de hyperbool, zodat de term in y is aan de linkerkant en alle andere voorwaarden aan de rechterkant.
y 2 / b 2 = x 2 / a 2-1
als | x | zeer groot wordt de juiste term wordt gedomineerd door de term
x 2 / a 2
en de hele vergelijking van de hyperbool kan worden benaderd door:
y 2 / b 2 = x 2 / a 2
De bovenstaande vergelijking kan worden geschreven als twee afzonderlijke vergelijkingen (oplossen voor y).
y = (b / a) x
y = - (b / a) x
Dus als | x | is zeer groot (x zeer grote of zeer kleine x), de grafiek van de parabool gedraagt zich als de grafiek van de lijnen y = (b / a) x en y = - (b / a) x die asymptoten genoemd.
Als grafische hyperbolen, is het makkelijker om een rechthoek (aangegeven in rood) met een lengte 2a (lengte van de transversale as) en breedte 2b (lengte van het conjugaat as) en de asymptoten te trekken zijn de uitbreidingen van de diagonalen van de vakken zoals afgebeeld in het hoofdvenster van de applet.
- Oefeningen
Gezien de volgende vergelijking van de hyperbool x 2 / 4 - y 2 / 9 = 1
a) Vergelijk de gegeven vergelijking met de standaard boven en vinden a en b.
b) Zoek de coördinaten van de brandpunten.
c) Zoek de x intercepts van de grafiek van de gegeven vergelijking.
d) Zoek de vergelijkingen van de asymptoten.
e) Gebruik de applet om de antwoorden op de onderdelen te controleren b, c en d hierboven. |