| Review
Een kwadratische vergelijking in een variabele is een vergelijking die kan worden geschreven in de vorm
ax 2 + bx + c = 0
waarbij a, b en c zijn constanten met een niet gelijk aan nul. Er zijn verschillende methoden om kwadratische vergelijkingen op te lossen. In deze tutorial gebruiken we het de kwadratische formules en de discriminant.
De oplossingen voor de bovenstaande vergelijking worden gegeven door de kwadratische formules.
x 1 = [-b + sqrt (b 2 - 4ac)] / (2a) en --- x 2 = [-b - sqrt (b 2 - 4ac)] / (2a) De term b 2 - 4ac heet de discriminant en geeft belangrijke informatie over het aantal en de aard van de oplossingen voor de kwadratische vergelijking op te lossen. Drie gevallen zijn mogelijk: - Als D> 0, de vergelijking heeft 2 echte oplossingen. (zie voorbeeld 1 hieronder)
- Als D = 0, de vergelijking heeft 1 echte oplossing. (zie voorbeeld 2 hieronder)
- Als D <0, de vergelijking heeft 2 conjugaat denkbeeldige oplossingen. (zie voorbeeld 3 hieronder)
Voorbeeld 1: Vind alle oplossingen voor de kwadratische vergelijking hieronder.
x 2 + 3x = 4 Antwoord op Voorbeeld 1: - Gezien
x 2 + 3x = 4
- Herschrijf de gegeven vergelijking met de juiste term gelijk aan nul.
x 2 + 3x - 4 = 0
- Vind de discriminant D = b 2 - 4ac
D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 (1) (-4) = 25
- Aangezien de discriminant positief is, de vergelijking heeft twee echte oplossingen gegeven door.
x 1 = [-3 + sqrt (25)] / (2 * 1) = [-3 + 5] / 2 = 1
x 2 = [-3 - sqrt (25)] / (2 * 1) = [-3 - 5] / 2 = -4
Check Solutions
- x = 1
Linkerkant van de vergelijking = x 2 + 3x = 1 2 + 3 (1) = 1 + 3 = 4
Rechterkant van de vergelijking = 4.
- x = -4
Linkerkant van de vergelijking = (-4) 2 + 3 (-4) = 16 - 12 = 4
Rechterkant van de vergelijking = 4. Conclusie: De oplossingen voor de gegeven vergelijking zijn 1 en -4. Matched Oefening 1: Vind alle oplossingen van de vierkantsvergelijking hieronder.
x 2 - 3 x + 2 = 0 Antwoord.
Voorbeeld 2: Vind alle oplossingen van de vierkantsvergelijking
x 2 / 3 + 3 = 2x Antwoord op Voorbeeld 2: - Gezien
x 2 / 3 + 3 = 2x
- Elimineer de noemer door vermenigvuldiging van alle termen in de vergelijking door 3.
3 [x 2 / 3 + 3] = 3 * 2x
- Vereenvoudig en herschrijven de vergelijking met de juiste term gelijk aan nul.
x 2 - 6x + 9 = 0
- Gebruik de kwadratische formule. De discriminant D wordt gegeven door
D = b 2 - 4ac
= (-6) 2 - 4 (1) (9) = 0
- Aangezien de discriminant gelijk is aan nul, de twee formules geven de twee oplossingen van de vierkantsvergelijking uitgegroeid tot een x = -b/2a en de vergelijking heeft een oplossing.
x =-b / 2a = - (-6) / 2 * 1 = 3
Check Solutions
- x = 3
Linkerkant van de vergelijking = x2 / 3 + 3 = 3 2 / 3 + 3 = 6
Rechterkant van de vergelijking = 2x = 2 (3) = 6.
Conclusie
Er is een echte oplossing voor de gegeven vergelijking: x = 3.
Matched Oefening 2. Vind alle oplossingen voor de kwadratische vergelijking.
x 2 / 2 = - 8 - 4x Antwoord.
Voorbeeld 3: Vind alle oplossingen voor de vierkantsvergelijking
x 2 - 4x + 13 = 0 Antwoord op Voorbeeld 3: - Gezien
x 2 - 4x + 13 = 0
- De discriminant D wordt gegeven door
D = b 2 - 4ac
= (-4) 2 - 4 (1) (13) = -36
- Aangezien de discriminant negatief is, de wortel van de discriminant is een zuiver imaginair getal.
sqrt (D) = sqrt (-36) = sqrt (-1) sqrt (36) = 6i
waarbij i de imaginaire eenheid die is gedefinieerd als i = srqt (-1).
- Gebruik de kwadratische formules op zoek naar de twee oplossingen.
x 1 = (4 + 6 decies)) / (2 * 1) = 2 + 3i
x 2 = (4 - 6 decies) / (2 * 1) = 2 - 3i
Check Solutions
- x = 2 + 3i
Linkerkant van de vergelijking = x 2 - 4x + 13 = (2 + 3i) 2 - 4 (2 + 3i) + 13
= 4 - 9 + 12i - 8 - 12i + 13 = 0
Rechterkant van de vergelijking = 0
- x = 2 - 3i
Linkerkant van de vergelijking = x 2 - 4x + 13 = (2 - 3i) 2 - 4 (2 - 3i) + 13
= 4 - 9 - 12i - 8 + 12i + 13 = 0
Rechterkant van de vergelijking = 0
Conclusie
De gegeven vergelijking heeft twee denkbeeldige oplossingen 2 + 3i en 2 - 3i geconjugeerde van elkaar.
Matched Oefening 3. Vind alle oplossingen voor de kwadratische vergelijking.
x 2 - 4x + 5 = 0 Antwoord.
Oefeningen. (Zie de antwoorden hieronder)
Los de volgende kwadratische vergelijkingen
a)-x 2 + 2x = -3
b) (1 / 2) x 2 + (1 / 3) x = 1 / 6
c) x 2 + 9 = 0
d) - 0,2 x 2 + 2,0 x = + 5,2
e) [3 x 2 + 2x] / 2 = 2 Antwoorden op Boven Oefeningen.
a) -1, 3
b) -1, 1 / 3
c) 3 i, -3 i
d) 5 - i, 5 + i
e) sqrt (13) / 3 - 1 / 3, - sqrt (13) / 3 - 1 / 3 Meer verwijzingen en links naar kwadratische vergelijkingen.
|