| |
| Review We hebben eerst beginnen met de eigenschappen van de grafiek van de fundamentele logaritmische functie van een base, f (x) = log a (x), a> 0 en een niet gelijk aan 1. Het domein van de functie f is het interval (0, + inf). Het bereik van f is het interval (-inf, + inf). Het symbool inf betekent oneindigheid. Functie f heeft een verticale asymptoot gegeven door x = 0. Deze functie heeft een x snijpunt in (1, 0). f verhoogt als x stijgt. Voorbeeld 1: f is een functie gegeven door f (x) = log 2 (x + 2)
Antwoord op Voorbeeld 1 a - Het domein van f is de verzameling van alle x-waarden zodanig dat x + 2> 0 of x> -2 Het bereik van f is het interval (-inf, + inf). b - De verticale asymptoot wordt verkregen door het oplossen van x + 2 = 0 waardoor x = -2 Als x -2 benaderingen van het recht (x> -2), f (x) daalt zonder gebonden te zijn. Hoe weten we dit? Laten we een aantal waarden: f (-1) = log 2 (-1 + 2) = log 2 (1) = 0 f (-1,5) = log 2 (-1,5 + 2) = log 2 (1 / 2) = -1 f (-1,99) = log 2 (-1,99 + 2) = log 2 (0,01) die ongeveer gelijk is aan -6.64 F (-1,999999) = log 2 (-1,999999 + 2) = log 2 (0,000001) die ongeveer gelijk is aan -19,93. c - Om de x onderscheppen we nodig hebben om de vergelijking op te lossen f (x) = 0 log 2 (x + 2) = 0 Gebruik eigenschappen van logaritmische en exponentiële functies te schrijven als de bovenstaande vergelijking 2 log2 (x + 2) = 2 0 Dan vereenvoudigen x + 2 = 1 x = -1 De x-intercept is op (-1, 0). De y-afsnijpunt wordt gegeven door (0, f (0)) = (0, log 2 (0 + 2)) = (0, 1). d - Tot dusver hebben we het domein, bereik, x en y onderschept en de verticale asymptoot. We hebben meer punten. Laten we een punt overwegen bij x = -3 / 2 (halverwege tussen de x onderscheppen en de verticale asymptoot) en een ander punt bij x = 2. f (-3 / 2) = log 2 (-3 / 2 + 2) = log 2 (1 / 2) = log 2 (2 -1) = -1. f (2) = log 2 (2 + 2) = log 2 (2 2) = 2. We hebben nu meer informatie over hoe grafiek f. De grafiek stijgt als x stijgt. De buurt van de verticale asymptoot x = -2, de grafiek van f afneemt zonder gebonden als x -2 benaderingen van het recht. De grafiek snijdt nooit de verticale asymptoot. We hebben nu lid worden van de verschillende punten door een vloeiende curve.
Matched probleem Voorbeeld 1: f is een functie gegeven door f (x) = log 2 (x + 3)
Voorbeeld 2: f is een functie gegeven door f (x) =-3LN (x - 4)
Antwoord op Voorbeeld 2 a - Het domein van f is de verzameling van alle x-waarden zodanig dat x - 4> 0 of x> 4 Het bereik van f is het interval (-inf, + inf). b - De verticale asymptoot wordt verkregen door het oplossen van x - 4 = 0 of x = 4 Als x 4 benaderingen van het recht (x> 4), f (x) vergroot zonder gebonden te zijn. Hoe weten we dit? Laten we een aantal waarden: f (5) = ln (5-4) =-3LN (1) = 0 F (4,001) =-3LN (0,001) die ongeveer gelijk is aan 20,72. F (4.000001) =-3LN (0,000001) die ongeveer gelijk is aan 41,45. c - Om de x onderscheppen we nodig hebben om de vergelijking op te lossen f (x) = 0 -3LN (x - 4) = 0 Verdeel beide zijden van -3 tot het verkrijgen ln (x - 4) = 0 Gebruik eigenschappen van logaritmische en exponentiële functies te schrijven als de bovenstaande vergelijking e ln (x - 4) = e 0 Dan vereenvoudigen x - 4 = 1 x = 5 De x-intercept is (5, 0). De y onderscheppen wordt gegeven door (0, f (0)). f (0) is undefined omdat x = 0 is niet een waarde in het domein van f. Er is geen y onderscheppen. d - Tot dusver hebben we het domein, bereik, x onderscheppen en de verticale asymptoot. We moeten extra punten te kunnen grafiek f. f (4,5) =-3LN (4,5 - 4) ongeveer gelijk aan 2,08 F (8) =-3LN (8 - 4) ongeveer gelijk aan - 4.16 F (14) =-3LN (14 - 4) ongeveer gelijk aan - 6,91 Laat ons nu schets alle punten en de verticale asymptoot. Word lid van de punten door een vloeiende curve en f toeneemt als x 4 benaderingen van het recht.
Matched probleem Voorbeeld 2: f is een functie gegeven door f (x) = 2LN (x + 5)
Voorbeeld 3: f is een functie gegeven door f (x) = 2LN (| X |)
Antwoord op Voorbeeld 3 a - Het domein van f is de verzameling van alle x-waarden zodanig dat | X |> 0 Het domein is de verzameling van alle reële getallen behalve 0. Het bereik van f is het interval (-inf, + inf). b - De verticale asymptoot wordt verkregen door het oplossen van | X | = 0 waardoor x = 0 Als x 0 benaderingen van het recht (x> 0), f (x) daalt zonder gebonden te zijn. Hoe weten we dit? Laten we een aantal waarden: F (1) = 2 ln (| 1 |) = 0 f (0,1) = 2LN (0.1), wat ongeveer gelijk is aan -4,61. F (0,0001) = 2LN (0,0001), die ongeveer gelijk is aan -18,42. F (0.0000001) = 2LN (0,0000001) die ongeveer gelijk is aan -32,24. Als x benaderingen 0 van links (x <0), f (x) daalt zonder gebonden te zijn. Hoe weten we dit? Laten we een aantal waarden: f (-1) = 2 ln (| -1 |) = 0 f (-0,1) = 2LN (| -0,1 |), wat ongeveer gelijk is aan -4,61. F (-0,0001) = 2LN (| -0,0001 |), wat ongeveer gelijk is aan -18,42. F (-0,0000001) = 2LN (| -0.0000001 |), wat ongeveer gelijk is aan -32,24. c - Om de x onderscheppen we nodig hebben om de vergelijking op te lossen f (x) = 0 2LN (| x |) = 0 Verdeel beide zijden met 2 te verkrijgen ln (| x |) = 0 Gebruik eigenschappen van logaritmische en exponentiële functies te schrijven als de bovenstaande vergelijking e ln (| x |) = e 0 Dan vereenvoudigen | X | = 1 Twee x onderschept op (1, 0) en (-1, 0). De y onderscheppen wordt gegeven door (0, f (0)). f (0) is undefined omdat x = 0 is niet een waarde in het domein van f. Er is geen y onderscheppen. d - Tot dusver hebben we het domein, bereik, x onderscheppen en de verticale asymptoot. Bij de behandeling van de functie f is het eenvoudig om aan te tonen dat dit nog een functie en de grafiek is symmetrisch ten opzichte van de y-as. f (-x) = 2 ln (|-x |) maar |-X | = | x | dus f (-x) = 2 ln (| x |) = f (x), dit toont aan dat f een even functie. Laten we vinden extra punten. F (4) = 2LN (| 4 |) ongeveer gelijk aan 2.77. f (0,5) = 2LN (| 0,5 |) ongeveer gelijk aan - 1.39. Aangezien f is zelfs f (-4) = f (4) en f (-0,5) = f (0,5). Laat ons nu schets alle punten, de verticale asymptoot en lid van de punten door een vloeiende curve.
Matched probleem Voorbeeld 3: f is een functie gegeven door f (x) =-2LN (x 2)
Meer referenties op logaritmische functies en grafieken. |
