| |
| Definitie Een rationele functie f heeft de vorm
waar g (x) en h (x) zijn polynoom functies. Het domein van f is de verzameling van alle reële getallen behalve de waarden van x die maken de noemer h (x) nul. In wat volgt, nemen we aan dat g (x) en h (x) hebben geen gemeenschappelijke factoren. Verticale asymptoten Laten
Het domein van f is de verzameling van alle reële getallen behalve 3, sinds 3 maakt de noemer nul en de deling door nul is niet toegestaan in de wiskunde. Maar we kunnen proberen om uit te vinden hoe de grafiek van f bijna 3 gedragen. Laten we de functie evalueren f op waarden van x bijna 3 zodanig dat x <3. De waarden worden weergegeven in de onderstaande tabel:
Laten we nu evalueren f op waarden van x bijna 3 zodanig dat x> 3.
De grafiek van f is hieronder weergegeven.
Opmerkingen 1 - Als benaderingen x 3 vanaf de linker-of door waarden kleiner dan 3, f (x) daalt zonder gebonden te zijn. 2 - Als x 3 benaderingen van het recht of door waarden groter dan 3, f (x) vergroot zonder gebonden te zijn. We zeggen dat de lijn x = 3, gebroken lijn, de verticale asymptoot van de grafiek van f. In het algemeen, de lijn x = a is een verticale asymptoot van de grafiek van f als f (x) ofwel stijgingen of dalingen zonder gebonden als x een benadering van rechts of van links. Dit is symbolisch geschreven als:
Horizontale asymptoten Laten
1 - Laat x vergroten en de waarden van f vinden (x).
2 - Laat x verlagen en vinden waarden van f (x).
Als | x | toeneemt, wordt de teller gedomineerd door de term 2x en de teller heeft slechts een term x. Daarom f (x) neemt waarden dicht bij 2x / x = 2. Zie grafische gedrag hieronder.
In het algemeen, de lijn y = b is een horizontale asymptoot voor de grafiek van f als f (x) benaderingen een constante b als x stijgingen of dalingen zonder gebonden te zijn. Hoe vind je de horizontale asymptoot? Laat f een rationele functie als volgt gedefinieerd
Stelling m is de graad van de polynoom in de teller en n de graad van de polynoom in de teller. case 1: Voor m <n, de horizontale asymptoot is de lijn y = 0. case 2: Voor m = n, de horizontale asymptoot is de lijn y = a m / b n case 3: Voor m> n, is er geen horizontale asymptoot. Voorbeeld 1: Laat f een rationele functie gedefinieerd door
a - Vind het domein van f. b - Vind de x-en y intercepts van de grafiek van f. c - Vind de verticale en horizontale asymptoten van de grafiek van f als die er zijn. d - Gebruik uw antwoorden op onderdelen a, b en c hierboven schets de grafiek van de functie f. Antwoord op Voorbeeld 1 a - Het domein van f is de verzameling van alle reële getallen behalve x = 1, omdat deze waarde van x maakt de noemer nul. b - De x-intercept wordt gevonden door het oplossen van f (x) = 0 of x +1 = 0. De x onderscheppen is op het punt (-1, 0). De y onderscheppen is op het punt (0, f (0)) = (0, -1). c - De verticale asymptoot wordt gegeven door de nul van de noemer x = 1. De mate van de teller is 1 en de graad van de noemer is 1. Ze zijn gelijk en volgens de stelling boven de horizontale asymptoot is de lijn y = 1 / 1 = 1 e - Hoewel de onderdelen a, b en c geven wat belangrijke informatie over de grafiek van f, we moeten nog een teken tafel te bouwen voor de functie f in om te kunnen schetsen met gemak. Het teken van f (x) wijzigingen op de nulpunten van de teller en noemer. Als u het teken tafel, gaan we als rationele bij het oplossen van ongelijkheden. De nulpunten van de teller en noemer die zijn -1 en 1 verdeelt het werkelijke aantal lijn in 3 intervallen: (- Oneindig, -1), (-1, 1), (1, + oneindig). Wij selecteren een test waarde binnen elk interval en vind het teken van f (x). In (- oneindig, -1), selecteert -2 en vinden f (-2) = (-2 + 1) / (-2 - 1) = 1 / 3> 0. In (-1, 1), selecteert u 0 en vinden f (0) = -1 <0. In (1, + oneindig), kies 2 en vinden F (2) = (2 + 1) / (2 - 1) = 3> 0. Laten we alle informatie over F in een tabel.
In de bovenstaande tabel VA betekent verticale asymptoot. Om schets de grafiek van f, beginnen we met schetsen van de x-en y onderschept en de verticale en horizontale asymptoten in gebroken lijnen. Zie onderstaande schets.
Wij nu beginnen schetsen de grafiek van f vanaf de linkerkant. In het interval (-inf, -1) f (x) positief is dus de grafiek boven de x-as. Vanaf links, schetsen we f rekening houdend met het feit dat y = 1 is een horizontale asymptoot: De grafiek van f ligt dicht bij deze lijn aan de linkerkant. Zie onderstaande schets.
Tussen -1 en 1 f (x) negatief is, dus de grafiek van f is dan de x-as. (0, -1) is ay onderscheppen en x = 1 is een verticale asymptoot: als x 1 benaderingen van links f (x) overlijdt zonder gebonden omdat f (x) <0 in (-1, 1). Zie onderstaande schets.
Voor x> 1, f (x)> 0 dus de grafiek boven de x-as. Als x 1 benaderingen van rechts, de grafiek van f vergroot zonder gebonden (f (x)> 0). Ook als x stijgt, de grafiek van f benaderingen y = 1 de horizontale asymptoot. Zie onderstaande schets.
We zetten nu alle "stukken" van de grafiek van f samen om de grafiek van f. verkrijgen
Matched Probleem: Laat f een rationele functie gedefinieerd door f (x) = (-x + 2) / (x + 4) a - Vind het domein van f. b - Vind de x-en y intercepts van de grafiek van f. c - Vind de verticale en horizontale asymptoten van de grafiek van f als die er zijn. d - Gebruik uw antwoorden op onderdelen a, b en c hierboven schets de grafiek van de functie f. Meer referenties op grafische en rationele functies. |
