| U kunt ook gebruik maken van deze applet tot en met f verkennen van de relatie tussen de x intercepts van de grafiek van een kwadratische functie (x) en de oplossingen van de corresponderende vierkantsvergelijking f (x) = 0. De verkenning is uitgevoerd door het veranderen van de waarden van 3 coëfficiënten a, b en c opgenomen in de definitie van f (x).
Zodra u klaar bent met de huidige tutorial, kan je heen wilt door middel van tutorials over kwadratische functies en grafieken kwadratische functies .
Indien nodig, Vrije grafiek papier beschikbaar is. A - Definitie van een kwadratische functie
Een kwadratische functie f is een functie van de vorm
f (x) = ax 2 + bx + c
waarbij a, b en c reele getallen zijn en een niet gelijk is aan nul. De grafiek van de kwadratische functie heet een parabool. Het is een "U" vormige curve die boven of naar beneden open afhankelijk van het teken van de coëfficiënt a. Voorbeelden van kwadratische functies - f (x) =-2x 2 + x - 1
- f (x) = x 2 + 3x + 2
Interactieve handleiding (1)
De knop begint onder de applet op een apart groot scherm.
- Klik op de knop boven "klik hier om te starten" om de applet te starten en het venster te maximaliseren verkregen.
- Gebruik de schuifbalken in het linkervenster van het appletvenster de coëfficiënten a, b en c ingesteld op de waarden in de bovenstaande voorbeelden en observeer de grafiek verkregen. Merk op dat de grafiek overeenkomt met deel A) is een parabool opening naar beneden, omdat een coëfficiënt is negatief en de grafiek overeenkomt met deel B) is een parabool openstelling sinds een coëfficiënt is positief. U kunt de waarden van de coëfficiënt a, b en c en observeer de grafieken verkregen.
- Stel een op nul en uitleg over de grafiek verkregen. Welke term in ax 2 + bx + c geeft de parabolische vorm?
Antwoorden
B - Standard vorm van een kwadratische functie en vertex
Elke kwadratische functie kan worden geschreven in het modelformulier
f (x) = a (x - h) 2 + k
waar de h en k worden gegeven in termen van coëfficiënten a, b en c.
Laten we beginnen met de kwadratische functie in het algemeen en volledige vorm van het plein op te herschrijven in standaard vorm.
- Gegeven functie f (x)
f (x) = ax 2 + bx + c
- coëfficiënt een factor uit de termen in x 2 en x
f (x) = a [x 2 + (b / a) x] + c
- optellen en aftrekken (b/2a) 2 tussen de haakjes
f (x) = a [x 2 + (b / a) x + (b/2a) 2 - (b/2a) 2] + c
- Merk op dat
x 2 + (b / a) x + (b/2a) 2
- kan worden geschreven als
[X + (b/2a)] 2
- We schrijven nu f als volgt
f (x) = a [x + (b/2a)] 2 - a (b/2a) 2 + c
- die kan worden geschreven als
f (x) = a [x + (b/2a)] 2 - (b 2 / 4a) + c
- Dit is de standaard vorm van een kwadratische functie met
h =-b / (2a)
k = c - b 2 / (4 a)
Als je de grafiek van een kwadratische functie, zal de grafiek ofwel een maximum of een minimum punt genaamd de vertex. De x-en y-coördinaten van de vertex worden gegeven door h en k, respectievelijk.
Voorbeeld: Schrijf de kwadratische functie f gegeven door f (x) =-2x 2 + 4x + 1 in standaard vorm en vind het hoekpunt van de grafiek.
Oplossing
- gegeven functie
f (x) =-2x 2 + 4x + 1
- factor -2 out
f (x) = -2 (x 2 - 2x) + 1
- We hebben nu verdelen de coëfficiënt van x die -2 is door 2 en dat geeft -1.
f (x) = -2 (x 2 - 2x + (-1) 2 - (-1) 2) + 1
- toe te voegen en 2 van aftrekt (-1) binnen de haakjes
f (x) = -2 (x 2 - 2x + (-1) 2) + 2 + 1
- groep als voorwaarden en schrijf in standaard vorm
f (x) = -2 (x - 1) 2 + 3
- Het bovenstaande geeft h = 1 en k = 3.
- h en k kan ook worden gevonden met behulp van de formules voor de H en K hierboven verkregen.
h = -b/2a = -4 / (2 *- 2) = 1
k = c - b 2 / (4 a) = 1 - 42 / (4 *- 2) = 3
- De top van de grafiek is op (1,3).
Interactieve handleiding (2)
- Ga terug naar het applet-venster en stel een tot -2, b en c tot en met 4 op 1 (waarden die in het bovenstaande voorbeeld). Controleer of de grafiek naar beneden wordt geopend (a <0) en dat de vertex is op het punt (1,3) en is een maximum punt.
- Gebruik het applet-venster en een 0 ingesteld op 1, b en c tot -2 tot f (x) = x 2 - 2x. Controleer dat de grafiek zich opent (a> 0) en dat de vertex is op het punt (1, -1) en is een minimum punt.
C - x intercepts van de grafiek van een kwadratische functie
De x-onderschept van de grafiek van een kwadratische functie f gegeven door
f (x) = ax 2 + bx + c
zijn de echte oplossingen, als ze bestaan, van de vierkantsvergelijking ax 2 + bx + c = 0
De bovenstaande vergelijking heeft twee echte oplossingen en daarom is de grafiek heeft x onderschept bij de discriminant D = b 2 - 4ac is positief. Het heeft een herhaalde oplossing als D is gelijk aan nul. De oplossingen worden gegeven door de kwadratische formules
x1 = (-b + sqrt (D)) / 2a
en ---
x2 = (-b - sqrt (D)) / 2a
Voorbeeld: Vind de x onderschept voor de grafiek van elke functie hieronder
- f (x) = x 2 + 2x - 3
- g (x) =-x 2 + 2x - 1
- h (x) =-2x 2 + 2x - 2
Oplossing
- Om de x onderschept, lossen we
x 2 + 2x - 3 = 0
discriminant D = 2 2 tot 4 * 1 * (-3) = 16
twee echte oplossingen:
x1 = (-2 + sqrt (16)) / (2 * 1) = 1
en ---
x2 = (-2 - sqrt (16)) / (2 * 1) = -3
De grafiek van de functie in deel a) heeft twee x onderschept worden op de punten (1,0) en (-3,0)
- Wij lossen-x 2 + 2x - 1 = 0
discriminant D = 2 2 tot 4 * (-1) * (-1) = 0
een herhaalde echte oplossingen x1 = -b/2a = -2/-2 = 1
De grafiek van de functie in deel B) heeft een snijpunt in x (1,0).
- Wij lossen-2x 2 + 2x - 2 = 0
discriminant D = 2 2 tot 4 * (-2) * (-2) = -12
Geen echte oplossingen voor de bovenstaande vergelijking
NO x onderscheppen voor de grafiek van de functie in onderdeel c).
Interactieve handleiding (3)
- Ga naar de applet-venster en stel de waarden van a, b en c voor elk van de voorbeelden in de onderdelen a, b en c, en controleer de discriminant en de x intercepts van de bijbehorende grafieken.
- Gebruik het applet-venster te vinden elke x onderschept voor de volgende kwadratische functies.
a) f (x) = x 2 + x - 2
b) g (x) = 4x 2 + x + 1
a) h (x) = x 2 - 4x + 4
Gebruik de analysemethode beschreven in het bovenstaande voorbeeld om de x onderschept vinden en vergelijken de resultaten. - Gebruik het applet-venster en stel a, b en c tot waarden zodanig dat b 2 - 4ac <0. Hoeveel x-onderschept de grafiek van f (x) heeft?
- Gebruik het applet-venster en stel a, b en c tot waarden zodanig dat b 2 - 4ac = 0. Hoeveel x-onderschept de grafiek van f (x) heeft?
- Gebruik het applet-venster en stel a, b en c tot waarden zodanig dat b 2 - 4ac> 0. Hoeveel x-onderschept de grafiek van f (x) heeft?
Antwoorden
D - y onderschept van de grafiek van een kwadratische functie
De y-intercept van de grafiek van een kwadratische functie wordt gegeven door f (0) = c.
Voorbeeld: Zoek de y-snijpunt van de grafiek van de volgende kwadratische functies. - f (x) = x 2 + 2x - 3
- g (x) = 4x 2 - x + 1
- h (x) =-x 2 + 4x + 4
Oplossing - f (0) = -3. De grafiek van f heeft Ay snijpunt in (0, -3).
- g (0) = 1. De grafiek van g heeft Ay snijpunt in (0,1).
- h (0) = 4. De grafiek van h heeft Ay snijpunt in (0,4).
Interactieve handleiding (4) - Gebruik het applet-venster om bijvoorbeeld te controleren op de y te onderscheppen voor de kwadratische functies in het bovenstaande.
- Gebruik het applet-venster om de y-afsnijpunt controle is op het punt (0, c) voor verschillende waarden van c.
Klik op de knop "klik hier om te starten" om de applet te starten. Druk nu op de knop "nieuwe grafiek" om een nieuwe grafiek te genereren.
Als oefening wordt u gevraagd om c. Zoek de vergelijking van de kwadratische functie waarvan de grafiek is te zien in de applet het en schrijf het in de vorm f (x) = ax 2 + bx + Zodra u de vergelijking van de grafiek kunt u uw antwoord te controleren door te klikken op de tweede knop gevonden "tonen / verbergen", dat zal coëfficiënten a, b en c display aan de linkerkant van het scherm plotten.
Voorbeeld: Zoek de grafiek van de kwadratische functie f die grafiek is hieronder weergegeven.
Oplossing
Er zijn verschillende methoden om de bovenstaande vraag te beantwoorden, maar alle van hen hebben een idee met elkaar gemeen: je nodig hebt om te begrijpen en selecteer vervolgens de juiste informatie uit de grafiek.
Methode 1:
De bovenstaande grafiek heeft twee x onderschept op (-3,0) en (-1,0) en Ay snijpunt in (0,6). De x-coördinaten van de x onderschept kan worden gebruikt om de vergelijking van de functie f te schrijven als volgt:
f (x) = a (x + 3) (x + 1)
We gebruiken nu de y-afsnijpunt f (0) = 6
6 = A (0 + 3) (0 + 1)
en oplossen van A naar A = 2 vinden. De formule voor de kwadratische functie f wordt gegeven door:
f (x) = 2 (x + 3) (x + 1) = 2x 2 + 8 + 6 x
Methode 2:
Het bovenstaande parabool heeft een hoekpunt op (-2, -2) en Ay snijpunt in (0,6). De standaard (of vertex) vorm van een kwadratische functie f kan worden geschreven
f (x) = a (x + 2) 2 tot 2
Wij maken gebruik van de y-intercept f (0) = 6
6 = A (0 + 2) 2 - 2. Los van A naar A = 2 vinden. De formule voor de kwadratische functie f wordt gegeven door:
f (x) = 2 (x + 2) 2 - 2 = 2x 2 + 8 + 6 x
methode 3:
Sinds een kwadratische functie heeft de vorm
f (x) = ax 2 + bx + c
moeten we 3 punten op de grafiek van f om tot en met 3 vergelijkingen schrijven en op te lossen voor a, b en c.
De volgende punten staan op de grafiek van f
(-3, 0), (-1, 0) en (0, 6)
punt (0, 6) geeft
f (0) = 6 = a (0) 2 + b (0) + c = c
op te lossen voor c tot c = 6 te verkrijgen
De twee andere punten geeft twee vergelijkingen
(-3, 0) geeft f (-3) = a (-3) 2 + b (-3) + 6
die leidt tot 9 bis - 3 b + 6 = 0
en (-1, 0) geeft f (-3) = a (-1) 2 + b (-1) + 6
dat wordt een - B + 6 = 0
Los de laatste twee vergelijkingen in a en b te verkrijgen
a = 2 en b = 4 en geeft
f (x) = 2x 2 + 8 + 6 x
Ga terug naar de applet hierboven, het genereren van een grafiek en vind de vergelijking. U kunt zoveel grafiek te genereren dan ook, vraag, als je wilt. VOLGENDE
Meer over kwadratische functies en aanverwante onderwerpen
|