Problèmes de trigonométrie et questions avec solutions - 12e année
\( \) \( \)\( \)\( \)Des problèmes de trigonométrie de 12e année et des questions avec réponses et solutions sont présentés.
Résoudre les questions suivantes
-
Prouver l'identité
\( \tan^2(x) - \sin^2(x) = \tan^2(x) \sin^2(x) \)
-
Prouver l'identité
\( \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} = \cot(x) \)
-
Prouver l'identité
\( 4 \sin(x) \cos(x) = \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} \)
-
Résoudre l'équation trigonométrique donnée par
\( \sin(x) + \sin(x/2) = 0 \quad \text{for} \quad 0 \le x \le 2 \pi \)
-
Résoudre l'équation trigonométrique donnée par
\( (2\sin(x) - 1)(\tan(x) - 1) = 0 \quad \text{for} \quad 0 \le x \le 2 \pi \)
-
Résoudre l'équation trigonométrique donnée par
\( \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) = 0 \quad \text{for} \quad 0 \le x \le 2 \pi \)
-
Simplifier l'expression trigonométrique donnée par
\( \dfrac{\sin(2x) - \cos(x)}{\cos(2x) + \sin(x) - 1 } \)
-
Prouver que
\( \sin(105^{\circ}) = \dfrac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4} \)
-
Si \( \sin(x) = \dfrac{2}{5}\) et x est un angle aigu, trouver les valeurs exactes de
a) \( \cos(2x) \)
b) \( \cos(4x) \)
c) \( \sin(2x) \)
d) \( \sin(4x) \)
-
Trouvez la longueur du côté AB dans la figure ci-dessous. Arrondissez votre réponse à 3 chiffres significatifs.
.
Solutions aux problèmes ci-dessus
-
Nous commençons par le côté gauche de l'identité donnée
Utilisez l'identité \( \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \) dans la partie gauche de l'identité donnée.
\( \tan^2(x) - \sin^2(x) = \left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 - \sin^2(x) \)
\( = \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \sin^2(x) \)
\( = \dfrac{\sin^2(x) - \cos^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \)
\( = \dfrac{\sin^2(x) \left(1 - \cos^2(x)\right)}{\cos^2(x)} \)
\( = \dfrac{ \sin^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \)
\( = \sin^2(x) \tan^2(x) \) qui est égal au membre droit de l'identité donnée. -
Utilisez les identités \( \cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1 \) et \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) dans le côté gauche de l'identité donnée.
\( \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} \)
\( = \dfrac{1 + \cos(x) + 2 \cos^2(x) - 1}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x) } \)
\( = \dfrac{\cos(x) + 2 \cos^2(x)}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x) } \)
\( = \dfrac{\cos(x) (1 + 2 \cos(x))}{\sin(x) (1 + 2 \cos(x)) } \) \( = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} \)
\( = \cot(x) \) qui est égal au membre droit de l'identité donnée. -
Utilisez l'identité \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) pour écrire \( \sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x) \) à droite côté de l'identité donnée.
\( \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} = \dfrac{2 \sin(2x) \cos(2x)}{\cos(2x)}\)
\( = 2 \sin(2x) \)
\( = 2 \times 2 \sin(x) \cos(x) \)
\( = 4 \sin(x) \cos(x) \) qui est égal au côté gauche de l'identité donnée. -
Utilisez l'identité \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) pour écrire \( \sin(x) \) comme
\( \sin(x) = \sin(2 \times x/2) = 2 \sin(x / 2) \cos(x / 2) \)
et utilisez dans le côté droit de l'équation donnée pour l'écrire comme suit
\( 2 \sin(x / 2) \cos(x / 2) + \sin(x / 2) = 0 \)
Facteur \( \sin(x / 2) \)
\( \sin(x/2) ( 2 \cos(x/2) + 1 ) = 0 \)
ce qui donne deux équations à résoudre
\( \sin(x/2) = 0 \) ou \( 2 \cos(x/2) + 1 = 0 \)
a) L'équation \( \sin(x / 2) = 0 \) a pour solutions \( x / 2 = 0 \) ou \( x / 2 = \pi \)
Résolvez pour x pour obtenir les solutions : \( x = 0 \) ou \( x = 2 \pi \)
b) L'équation \( 2 \cos(x/2) + 1 = 0 \) conduit à \( \cos(x/2) = -1/2 \) qui a pour solutions \( x/2 = 2 \pi/ 3 \) et \( x/2 = 4 \pi/3 \)
Résolvez pour x pour obtenir les solutions : \( x = 4 \pi/3 \) et \( x = 8 \pi/3 \)
Notez que \( 8 \pi/3 \) est supérieur à \( 2 \pi \) et n'est donc pas accepté. Les solutions finales pour l'équation donnée sont : \( \{ 0 , 4 \pi/3 , 2 \pi \} \) -
L'équation donnée est déjà factorisée
\( (2\sin(x) - 1)(\tan(x) - 1) = 0 \)
ce qui conduit à deux équations
\( 2\sin(x) - 1 = 0 \) ou \( \tan(x) - 1 = 0 \)
Les équations ci-dessus peuvent être écrites comme
\( \sin(x) = 1/2 \) ou \( \tan(x) = 1 \)
Les solutions de \( \sin(x) = 1/2 \) sont les solutions : \( x = \pi/6 \) et\( x = 5 \pi/6 \)
Les solutions de \( \tan(x) = 1 \) sont : \( x = \pi /4 \) et \( x = 5 \pi/4 \)
Les solutions de l'équation donnée dans l'intervalle donné sont : \( \{\pi/6, 5 \pi/6 , \pi /4 , 5 \pi/4 \}\) -
Utilisez la formule pour \( \cos(A + B) \) pour écrire
\( \cos(2x + x) = \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) \) .
D'où l'équation donnée
\( \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) = 0 \)
peut s'écrire comme
\( \cos(3x) = 0 \)
Résolvez l'équation ci-dessus pour \( 3x \) pour obtenir :
\( 3x = \pi/2 \), \( 3x = 3\pi/2 \), \( 3x = 5\pi/2 \), \( 3x = 7\pi/2 \), \( 3x = 9\pi/2 \) et \( 3x = 11\pi/2 \)
Résolvez ce qui précède pour x pour obtenir les solutions : \( \{\pi/6, \pi/2, 5\pi/6, 7\pi/6, 3\pi/2 , 11\pi/6 \} \ ) -
Utilisez les identités \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) et \( \cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x) \) pour réécrire l'expression donnée comme suit
\( \dfrac{\sin(2x) - \cos(x)}{\cos(2x) + \sin(x) - 1 } = \dfrac{ 2 \sin(x) \cos(x) - \cos (x)}{1 - 2 \sin^2(x) + \sin(x) - 1 } \)
Simplifier le côté droit et factoriser le numérateur et le dénominateur
\( = \dfrac{\cos(x)( 2 \sin(x) -1) }{ \sin(x)( - 2 \sin(x) + 1) } \)
Simplifier
\( = - \dfrac{\cos(x)}{ \sin(x)} \)
\( = - \cot(x) \)
-
\( 105^{\circ} \) peut être écrit comme la somme de deux angles spéciaux comme suit :
\( 105^{\circ} = 60^{\circ} + 45^{\circ}\)
Ainsi
\( \sin(105^{\circ}) = \sin(60^{\circ} + 45^{\circ}) \)
Utilisez les identités \( \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \)
\( \sin(105^{\circ}) = \sin(60^{\circ})\cos(45^{\circ}) + \cos(60^{\circ}) \sin(45^{ \circ}) \)
Utiliser le tableau des angles spéciaux
\( = (\sqrt {3} / 2 )(\sqrt {2}/2) + (1/2)(\sqrt {2}/2) \)
\( = \dfrac{ \sqrt {6} + \sqrt {2} } {4} \) -
Si \( \sin(x) = 2/5 \) alors \( \cos(x) = \sqrt {1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - (2/5)^2} = \ sqrt{21}/5 \)
a) Utiliser l'identité : \( \cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x) = 17/25 \)
b) Utiliser l'identité : \( \cos(4x) = 1 - 2 \sin^2(2 x) \)
\( = 1 - 2 [ 2\sin(x) \cos(x) ]^2 \)
\( = 457 / 625 \)
c) \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) = 4 \sqrt{21}/25 \)
d) \( \sin(4x) = \sin(2(2x)) = 2 \cos(2x) \sin(2x) \)
\( = 2 (17/25)(4 \sqrt{21}/25) = 136 \sqrt{21} / 625 \)
-
Notez que le triangle \( DAC \) est isocèle et donc si nous traçons la perpendiculaire de D à AC, elle coupera AC en deux moitiés et coupera l'angle D. Par conséquent
.
\( (1/2) CA = 10 \sin(35^{\circ}) \)
qui donne
\( CA = 20 \sin(35^{\circ}) \)
Notez que les deux angles internes B et C du triangle ABC totalisent \( 90^{\circ} \) et donc le troisième angle du triangle ABC est un angle droit. On peut donc écrire
\( \tan(32^{\circ}) = AB / AC \)
Qui donne
\( AB = AC \tan(32^{\circ}) \)
\( = 20 \sin(35^{\circ})\tan(32^{\circ}) = 7,17 \quad \) (arrondi à 3 chiffres significatifs)
Références et liens
Mathématiques au secondaire (10e, 11e et 12e année) - Questions et problèmes gratuits avec réponsesMathématiques au collège (6e, 7e, 8e, 9e) - Questions et problèmes gratuits avec réponses
Mathématiques primaires (4e et 5e années) avec questions gratuites et problèmes avec réponses
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