Définition et équation d'une parabole à axe vertical
Une parabole est l'ensemble de tous les points \( M(x,y)\) dans un plan tel que la distance de \( M \) à un point fixe \( F \) appelé foyer est égale à la distance de \ ( M \) à une droite fixe appelée directrice, comme indiqué ci-dessous dans le graphique.
Considérons une parabole avec un sommet \( V(0,0) \) (le point le plus bas) à l'origine (0,0) comme indiqué sur le graphique et le foyer \( F(0 , p) \) sur l'axe de symétrie (l'axe y) avec \( p > 0 \).
La distance entre les points \(M(x,y) \) de la parabole et le foyer \( F(0 , p)\) est donnée par
\(MF = \sqrt{(x -0)^2 + (y - p)^2} \)
La distance du point \(M(x,y) \) au directeur de l'équation \( y = - p \) est donnée par
\( MD = y + p \)
D'après la définition ci-dessus de la parabole, ces deux distances sont égales ; ainsi
\(\sqrt{(x -0)^2 + (y - p)^2} = y + p\)
Elevez au carré les deux côtés et développez les deux côtés de l'équation
\(x^2 + y^2 - 2 py + p^2 = y^2 + 2 py + p^2 \)
Groupez les termes similaires
\( 4py = x^2 \)
Écrivez l'équation de la parabole sous la forme \( y \) en termes de \( x \).
\( y = \dfrac{1}{4p} x^2 \)
Exemple 1
Le point \( ( 4,2) \) est sur le graphique d'une parabole de sommet à l'origine \( (0,0) \) et d'axe vertical. Trouvez le foyer de la parabole, tracez-le, étiquetez le foyer et tracez la directrice.
Solution de l'exemple 1
L’équation d’une parabole d’axe vertical dont le sommet est à l’origine est donnée par
\( y = \dfrac{1}{4p} x^2 \)
Puisque \( ( 4,2) \) est sur le graphique de la parabole, les coordonnées \( x = 4 \) et \( y = 2 \) satisfont l'équation de la parabole. Ainsi
\( 2 = \dfrac{1}{4p} (4)^2 \)
Simplifier
\( 2 = \dfrac{16}{4p} \)
Résoudre pour \( p \)
\( p = 2 \)
Le focus est au point \( F(0 , 2)\) et la directrice est donnée par la ligne horizontale \( y = - 2 \) comme le montre le graphique ci-dessous.
Nous pouvons généraliser et écrire l'équation d'une parabole en un sommet \( V(h,k) \) comme suit
\( y = \dfrac{1}{4p} (x - h)^2 + k\)
de sommet \( V(h,k) \) et de foyer \( F(h,k+p) \) et de directrice donnée par l'équation \( y = k - p \)
Exemple 2
Trouver le sommet, le foyer et la directrice de la parabole donnés par l'équation \(y = \dfrac{1}{16} x^2 - \dfrac{1}{4} x + \dfrac{9}{4}\) .
Solution de l'exemple 2
Réécrivez l'équation donnée sous forme standard en complétant le carré. factoriser \( 1/16 \) à partir des termes dans \( x \) et \( x^2 \)
\(y = \dfrac{1}{16} (x^2 - 4 x) + \dfrac{9}{4}\) .
Complétez le carré entre parenthèses
\(y = \dfrac{1}{16} ((x-2)^2 - 2^2 ) + \dfrac{9}{4}\)
Réécrire sous forme standard
\(y = \dfrac{1}{16} ((x-2)^2 - 4 ) - \dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4}\)
Termes de type groupe
\(y = \dfrac{1}{16} (x - 2)^2 + 2 \)
Comparez l'équation ci-dessus à la forme standard \( y = \dfrac{1}{4p} (x - h)^2 + k\) et identifiez les paramètres \( p \), \( h \) et \( k \)
\( \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{4p}\); résoudre pour \( p \) pour obtenir \( p = 4 \)
\( h = 2 \) et \( k = 2 \)
Sommet en \( V(h,k) = V(2,2)\), Focus en \( F(h,k+p) = F(2,6)\) , directrice donnée par \( y = k - p = - 2 \)
Équation d'une parabole à axe horizontal
L’équation d’une parabole d’axe horizontal s’écrit
\( x = \dfrac{1}{4p} (y - k)^2 + h\)
de sommet \( V(h,k) \) et de foyer \( F(h+p,k) \) et de directrice donnée par l'équation \( x = h - p \)
Exemple 3
Trouvez le sommet, le foyer et la directrice de la parabole donnés par l'équation \(x = \dfrac{1}{4} y^2 - y + 11\) .
Solution de l'exemple 3
Regroupez les termes dans \( y^2 \) et \(y \) et factorisez \( 1/4 \).
\(x = \dfrac{1}{4} (y^2 - 4 y) + 11\)
Utilisez les termes \( y^2 \) et \(y \) entre parenthèses et complétez le carré
\(x = \dfrac{1}{4} ((y^2 - 2) - 2^2) + 11\)
Réécrire sous forme standard
\(y = \dfrac{1}{4} ((y-2)^2) + 10 \)
Termes de type groupe
Comparez l'équation ci-dessus à l'équation sous la forme standard \( x = \dfrac{1}{4p} (y - k)^2 + h\) et identifiez les paramètres \( p \), \( h \) et \ (k\)
\( \dfrac{1}{4p} = \dfrac{1}{4} \) donne \( p = 1 \)
\( h = 10 \) et \( k = 2 \)
Sommet en \( V(h,k) = V(10,2)\), Focus en \( F(h+p,k) = F(11,2)\) , directrice donnée par \( x = h - p = 9 \)
Turorial interactif sur l'équation d'une parabole
Une application pour explorer l'équation d'une parabole et ses propriétés est maintenant présentée. L'équation utilisée est l'équation standard qui a la forme
\( y = \dfrac{1}{4 p}(x - h)^2 + k \)
où h et k sont les coordonnées x et y du sommet de la parabole et p est un nombre réel non nul.
L'exploration est réalisée en modifiant les paramètres \( p, h \) et \( k \) inclus dans l'équation ci-dessus et en réalisant les activités décrites ci-dessous.
Les valeurs par défaut lorsque vous ouvrez cette page sont : \( p = 1, h = 2 \) et \( k = 3 \)
Cliquez sur le bouton "Plot Equation" pour commencer.
Passez le curseur de la souris sur le graphique du point tracé pour lire les coordonnées.
1 - Commencez avec les valeurs par défaut \( p = 1, h = 2 \) et \( k = 3 \) le bouton "Plot Equation". Passez le curseur mousse sur le graphe pour tracer et lire les coordonnées des points du graphe, sur le foyer F ou le sommet V.
a) Utiliser les valeurs de \( p = 1, h = 2 \) et \( k = 3 \) et calculer les coordonnées du foyer \( F \), du sommet \( V \) et de l'équation du directrice et comparez-les aux valeurs graphiques.
b) Sélectionnez un point \( M \) sur la parabole et trouvez la distance \( MF \) et comparez-la à la distance de \( M \) à la directrice. (voir définition de la parabole ci-dessus). Sont-ils égaux ? (ou proches)
2 - Sur papier, trouver l'équation de la parabole pour les valeurs \( p = 4, h = 1 \) et \( k = - 4 \).
a) Calculer les coordonnées du foyer \( F \), du sommet \( V \) et de l'équation de la directrice
b) Calculer les interceptions x et y
c) Définissez les valeurs \( p = 4, h = 1 \) et \( k = - 4 \) dans l'application ci-dessus puis lisez et vérifiez l'équation de la parabole, les coordonnées du foyer \( F \) et le sommet \( V \) et l'équation de la directrice.
d) Vérifiez les interceptions x et y
3 - Exercice :
a) Sur papier, réécrivez l'équation
\[ x^2 - 4 x - 4 y = 0 \]
sous la forme \( y = \dfrac{1}{4 p} (x - h)^2 + k \) (voir exemple 2 ci-dessus)
b) Identifiez et trouvez les valeurs de \( p \), \( h \) et \( k \).
c) Trouver les coordonnées du foyer \( F \), du sommet \( V \), des ordonnées à l'origine x et y et l'équation de la directrice
d) Utilisez l'application ci-dessus et vérifiez les valeurs trouvées par les calculs.
Plus de références et de liens vers des sujets liés à l'équation de la parabole
