Beispiele und Fragen zum Addieren/Subtrahieren und Multiplizieren/Dividieren von Monomen für die 9. Klasse

In der 9. Klasse werden Beispiele zur Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Vereinfachung von Monomen zusammen mit ihren detaillierten Lösungen vorgestellt. Weitere Fragen und ihre Lösungen und detaillierten Erklärungen sind enthalten.

Verstehen der Koeffizienten von Monomen anhand von Beispielen

Ein Monom ist das Produkt einer reellen Zahl und Variablen, die mit nicht negativen ganzzahligen Potenzen (Exponenten) versehen sind.

Beispiel 1

Nimm eine Zahl, zum Beispiel \( - 2 \), und eine Variable mit Exponenten gleich \( 2 \), also \( x^2 \) zum Beispiel, und multipliziere sie, um
\( \quad - 2 \times x^2 \)
zu erhalten. Der Einfachheit halber lässt man nun das Multiplikationszeichen weg und schreibt es als
\(\quad - 2 x^2 \), um ein Monom zu erhalten.
Dies sind Beispiele für Monome:
\( \quad x , 2 x , 3x^2 , - 0.1 x , - \dfrac{3}{4} x^2 y^2 , - y \)

Der Koeffizient eines Monoms ist der Zahlenteil (der vorne steht) des Monoms.

Beispiel 2

Der Koeffizient des Monoms \( \color{red}{2} x \) ist \( \color{red}{2} \)
Der Koeffizient des Monoms \( \color{red}{- 3} x^2 \) ist \( \color{red}{-3} \)
Der Koeffizient des Monoms \( \color{red}{- \dfrac{5}{2}} y^3 x \) ist \( \color{red}{- \dfrac{5}{2}} \)
Der Koeffizient des Monoms \( x = \color{red}{1} x\) ist \( \color{red}{1} \) HINWEIS: Es wird nicht \( 1 x \) geschrieben, sondern der Einfachheit halber als \( x \).
Der Koeffizient des Monoms \( - x^2 = \color{red}{-1} x^2 \) ist \( \color{red}{- 1} \) HINWEIS: Es wird nicht \( - 1 x^2 \) geschrieben, sondern der Einfachheit halber als \( - x^2 \).

Monome addieren und subtrahieren mit Beispielen

Wir können nur Monome mit gleichen Termen addieren und subtrahieren, die dieselben Variablen mit derselben Potenz haben.
Beispiele für Monome mit gleichen Termen:
\( \quad - 3 x^2 , 4 x^2 , - x^2 \) sind alles Monome mit gleichen Termen \( x^2 \) und können addiert werden.
\( \quad - y^2 x , 4 y^2 x , - x y^2 \) sind alles Monome mit gleichen Termen \( x y^2 \) und können addiert werden.
HINWEIS: Die Terme \( x y^2 \) und \( y^2 x \) sind identisch.

Beispiel 3

Addiere und/oder subtrahiere die folgenden Monome:
a) \(2 x + 4 x\) b) \( 3 x^2 - x^2 \) c) \( x y - 5 x y \) d) \( 3 x^2 y - x^2 y + 4 y x^2 \) e) \( - x + x \)
Lösung zu Beispiel 3
a)
\( \quad \quad \begin{split} \color{red}{2}x + \color{red}{4} x & = \color{red}{(2 + 4)} x \quad \quad \text{Faktorisiere die Variable \( x \) aus und setze alle Koeffizienten in Klammern}\\\\ & = 6 x \quad \quad \text{Addiere die Koeffizienten in den Klammern} \end{split} \)
b)
\( \quad \quad \begin{split} \color{red}{3} x^2 \color{red}{-1} x^2& = \color{red}{(3 - 1)} x^2 \quad \quad \text{Faktorisiere die Variable \( x^2 \) aus und setze alle Koeffizienten in Klammern}\\\\ & = 2 x^2 \quad \quad \text{Addiere/Subtrahiere die Koeffizienten in den Klammern} \end{split} \)
c)
\( \quad \quad \begin{split} \color{red}{1} x y \color{red}{- 5} x y & = \color{red}{(1 - 5)} x y \quad \quad \text{Faktorisiere die Variable \( x y \) aus und setze alle Koeffizienten in Klammern}\\\\ & = - 4 x y \quad \quad \text{Addiere/Subtrahiere die Koeffizienten in den Klammern} \end{split} \)
d)
\( \quad \quad \begin{split} 3 x^2 y - x^2 y + 4 y x^2 & = \color{red}{(3-1+4)} x^2 y \quad \quad \text{Faktorisiere die Variable \( x^2 y \) aus und setze alle Koeffizienten in Klammern}\\\\ & = 6 x^2 y \quad \quad \text{Addiere/Subtrahiere die Koeffizienten in den Klammern} \end{split} \)
HINWEIS: Im obigen Beispiel, Teil d), sind die Terme \( x^2 y \) und \( y x^2\) identisch.
e)
\( \quad \quad \begin{split} - x + x & = (-1 + 1) x \quad \quad \text{Faktorisiere die Variable \( x \) aus und setze alle Koeffizienten in Klammern}\\\\ & = (-1+1)x = 0 x = 0 \quad \quad \text{Addiere/Subtrahiere die Koeffizienten in den Klammern} \end{split} \)

Monome multiplizieren mit Beispielen

Die folgende Exponentenregel wird häufig bei der Multiplikation von Exponenten-Formen verwendet:
\( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \)
Du kannst zwei beliebige Monome multiplizieren, und sie MÜSSEN KEINE gleichen Terme haben.

Beispiel 4

Multipliziere die folgenden Monome:
a) \( ( x) (6 x) \) b) \( (3 x^2) (-2 x) \) c) \( (5 x^2 y) (- y^2 x) \) d) \( (\dfrac{2}{3} x y) (- \dfrac{5}{4} y z) \) e) \( ( 6 ) (- y z) \)
Lösung zu Beispiel 4
a)
\( \quad \quad \begin{split} ( x) (6 x) & = (\color{red}{1} \color{blue}{x} )(\color{red}{6} \color{blue}{x}) \quad \quad \text{Identifiziere gegebenenfalls die Koeffizienten und die Variablen jedes Monoms}\\\\ & = \color{red}{(1 \cdot 6)} \color{blue}{(x \cdot x)} \quad \quad \text{Multipliziere die Koeffizienten miteinander und die Terme mit derselben Variable miteinander} \\\\ & = 6 x^{1+1} = 6 x^2 \quad \quad \text{Berechne die Multiplikation der Koeffizienten und multipliziere die Variablen mit der obigen Exponentenregel} \\\ \end{split} \)
b)
\( \quad \quad \begin{split} (3 x^2) (-2 x) & = (\color{red}{3} \color{blue}{x^2} )(\color{red}{(-2)} \color{blue}{x}) \quad \quad \text{Identifiziere gegebenenfalls die Koeffizienten und die Variablen jedes Monoms}\\\\ & = \color{red}{(3 \cdot (-2))} \color{blue}{(x^2 \cdot x)} \quad \quad \text{Multipliziere die Koeffizienten miteinander und die Terme mit derselben Variable miteinander} \\\\ & = - 6 x^{2+1} = - 6 x^3 \quad \quad \text{Berechne die Multiplikation der Koeffizienten und multipliziere die Variablen mit der obigen Exponentenregel} \\\ \end{split} \)
c)
\( \quad \quad \begin{split} (5 x^2 y) (- y^2 x) & = (5 x^2 y )((-1) y^2 x ) \quad \quad \text{Identifiziere gegebenenfalls die Koeffizienten und die Variablen jedes Monoms}\\\\ & = (5 \cdot (-1))(x^2 \cdot x) (y^2 \cdot y) \quad \quad \text{Multipliziere die Koeffizienten miteinander und die Terme mit derselben Variable miteinander} \\\\ & = - 5 y^{2+1} x^{2+1} = - 5 y^3 x^3 \quad \quad \text{Berechne die Multiplikation der Koeffizienten und multipliziere die Variablen mit den Regeln der Exponenten} \\\ \end{split} \)
d)
\( \quad \quad \begin{split} ( \dfrac{2}{3} x y) (- \dfrac{5}{4} y z) & = ((\dfrac{2}{3}) x y )((-\dfrac{5}{4}) y z ) \quad \quad \text{Identifiziere gegebenenfalls die Koeffizienten und die Variablen jedes Monoms}\\\\ & = (\dfrac{2}{3} \cdot (-\dfrac{5}{4}))(x) (y \cdot y) (z) \quad \quad \text{Multipliziere die Koeffizienten miteinander und die Terme mit derselben Variable miteinander} \\\\ & = - \dfrac{5}{6} x y^{1+1} z = - \dfrac{5}{6} x y^2 z \quad \quad \text{Berechne die Multiplikation der Koeffizienten und multipliziere die Variablen mit den Regeln der Exponenten} \\\ \end{split} \)
e)
\( \quad \quad \begin{split} ( 6 ) (- y z) & = ( 6 ) ((-1) y z) \quad \quad \text{Identifiziere gegebenenfalls die Koeffizienten und die Variablen jedes Monoms}\\\\ & = (6 \cdot (-1)) yz \quad \quad \text{Multipliziere die Koeffizienten} \\\\ & = - 6 yz \quad \quad \text{Berechne die Multiplikation der Koeffizienten}\\\ \end{split} \)

Monome dividieren mit Beispielen

Die folgende Exponentenregel wird häufig bei der Division von Exponenten-Formen verwendet:
\( \dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \)
Du kannst zwei beliebige Monome dividieren, und sie MÜSSEN KEINE gleichen Terme haben. Allerdings darf der Divisor nicht gleich Null sein.
Im Beispiel und in den Übungen unten nehmen wir an, dass KEINE der Variablen gleich Null ist.

Beispiel 5

Dividiere die folgenden Monome:
a) \( \dfrac{- x^2}{ x} \) b) \( \dfrac{4 x^4}{ x^2} \) c) \( \dfrac{- 2 x^4 y^3}{ 6 x^2 y^2} \) d) \( \dfrac{- 12 x y z^3}{ 6 x y } \) e) \( \dfrac{- 12 x^2y^3}{ -3} \)
Lösung zu Beispiel 5
a)
\( \quad \quad \begin{split} \dfrac{- x^2}{ x} & = \dfrac{ \color{red}{- 1} \color{blue}{x^2}}{ \color{red}{1} \color{blue}{x }} \quad \quad \text{Identifiziere gegebenenfalls die Koeffizienten und die Variablen jedes Monoms}\\\\ & = \color{red}{\dfrac{-1}{1}} \cdot \color{blue}{\dfrac{x^2}{x}} \quad \quad \text{Dividiere die Koeffizienten und die Terme mit derselben Variable separat} \\\\ & = - 1 \cdot x^{2-1} = - 1 \cdot x^{1} = - x \quad \quad \text{Berechne die Division der Koeffizienten und vereinfache die Variablen mit den Regeln der Exponentendivision von oben} \\\ \end{split} \)
b)
\( \quad \quad \begin{split} \dfrac{4 x^4}{ x^2} & = \dfrac{ \color{red}{4} \color{blue}{x^4}}{ \color{red}{1} \color{blue}{x^2}} \quad \quad \text{Identifiziere gegebenenfalls die Koeffizienten und die Variablen jedes Monoms}\\\\ & = \color{red}{ \dfrac{4}{1} } \cdot \color{blue}{ \dfrac{x^4}{x^2} } \quad \quad \text{Dividiere die Koeffizienten und die Terme mit derselben Variable separat} \\\\ & = 4 \cdot x^{4-2} = 4 x^{2} \quad \quad \text{Berechne die Division der Koeffizienten und vereinfache die Variablen mit den Regeln der Exponentendivision von oben} \\\ \end{split} \)
c)
\( \quad \quad \begin{split} \dfrac{- 2 x^4 y^3}{ 6 x^2 y^2} & = \color{red}{ \dfrac{-2}{6}} \color{blue}{\cdot \dfrac{x^4}{x^2}} \color{green}{ \cdot \dfrac{y^3}{y^2}} \quad \quad \text{Dividiere die Koeffizienten und die Terme mit derselben Variable separat} \\\\ & = - \dfrac{1}{3} \cdot x^{4-2} \cdot y^{3-1} = - \dfrac{1}{3} x^{2} y \quad \quad \text{Berechne die Division der Koeffizienten und vereinfache die Variablen mit den Regeln der Exponentendivision} \\\ \end{split} \)
d)
\( \quad \quad \begin{split} \dfrac{- 12 x y z^3}{ 6 x y } & = \dfrac{-12}{6} \cdot \dfrac{x}{x} \cdot \dfrac{y}{y} \cdot z^3\quad \quad \text{Dividiere die Koeffizienten und die Terme mit derselben Variable separat} \\\\ & = - 2 \cdot x^{1-1} \cdot y^{1-1} \cdot z^3 = - 2 z^3 \quad \quad \text{Berechne die Division der Koeffizienten und vereinfache die Variablen mit den Regeln der Exponentendivision} \\\ \end{split} \)
e)
\( \quad \quad \begin{split} \dfrac{- 12 x^2y^3}{ -3} & = \dfrac{-12}{-3} \cdot x^2y^3 \quad \quad \text{Dividiere die Koeffizienten} \\\\ & = 4 x^2y^3 \quad \quad \text{Berechne die Division der Koeffizienten} \\\ \end{split} \)

Fragen

Bestimme den Koeffizienten jedes Monoms.
1. ) \( x^2 \)
2. ) \( - 2 y \)
3. ) \( 3 x y \)
4. ) \( - y x^2 \)
5. ) \( y x^3 \)
6. ) \( - \dfrac{4}{7} y \)
7. ) \( 0.01 x^3 y \)
8. ) \( - \dfrac{xy^3}{4} \)
Addiere und subtrahiere die folgenden Monome.
1. ) \( 2 x - 4 x + 8 x \)
2. ) \( - x^2 - 7 x^2 \)
3. ) \( 3 x y - x y + 3 y x \)
4. ) \( x^2 y^2 - y^2 x^2 \)
5. ) \( x - \dfrac{1}{3} x \)
Multipliziere die folgenden Monome.
1. ) \( ( - x^2) (- 2 x) \)
2. ) \( (- x^2 y) (- y^2 x^2) \)
3. ) \( (- \dfrac{1}{2} x^2) (- 2 x^2) \)
4. ) \( (4 x y) (- \dfrac{3}{4} y^2 z) \)
5. ) \( (-2) (- \dfrac{3}{2} x^2 y) \)
Dividiere die folgenden Monome.
1. ) \( \dfrac{ x^3}{- x^2} \)
2. ) \( \dfrac{ - 3 x^4}{ - x^2} \)
3. ) \( \dfrac{- 5 x^3 y^3}{ 15 x^2 y^2} \)
4. ) \( \dfrac{- 16 x^2 y^2 z^3}{ 8 x^2 y } \)
5. ) \( \dfrac{- 20 x y^2 }{ - 5 } \)
Schreibe nach Möglichkeit als einzelnes Monom.
1. ) \( 9 x^2 y \cdot \dfrac{y^2}{3 x^2} \)
2. ) \( x^2 y \cdot \dfrac{3x}{x^2} \)
3. ) \( \dfrac{y}{3 x^2} \cdot x^3 \)
4. ) \( \dfrac{x^3}{2y^2} \cdot \dfrac{2x y^3}{x^2}\)

Lösungen zu den obigen Fragen

Bestimme den Koeffizienten jedes Monoms.
1. ) \( x^2 = 1 \cdot x^2\) Koeffizient \( = 1 \)
2. ) \( - 2 y = (-2) \cdot y\) Koeffizient \( = - 2 \)
3. ) \( 3 x y = 3 \cdot x y\) Koeffizient \( = 3 \)
4. ) \( - y x^2 = (-1) \cdot y x^2\) Koeffizient \( = - 1 \)
5. ) \( y x^3 = 1 \cdot y x^3 \) Koeffizient \( = 1 \)
6. ) \( - \dfrac{4}{7} y = (- \dfrac{4}{7}) \cdot y\) Koeffizient \( = - \dfrac{4}{7} \)
7. ) \( 0.01 x^3 y = 0.01 \cdot x^3 y\) Koeffizient \( = 0.01 \)
8. ) \( - \dfrac{xy^3}{4} = -\dfrac{1}{4} xy^3 \) Koeffizient \( = -\dfrac{1}{4} \)
Addiere und subtrahiere die folgenden Monome.
1. ) \( 2 x - 4 x + 8 x = ( 2 - 4 + 8) x = 6 x\)
2. ) \( - x^2 - 7 x^2 = (-1-7) x^2 = - 8 x^2\)
3. ) \( 3 x y - x y + 3 y x = (3 - 1 + 3) x y = 5 xy \) (HINWEIS: \( x y = y x) \)
4. ) \( x^2 y^2 - y^2 x^2 = (1 - 1)x^2 y^2 = 0 x^2 y^2 = 0\) (HINWEIS: \( x^2 y^2 = y^2 x^2) \)
5. ) \( x - \dfrac{1}{3} x = (1 - \dfrac{1}{3}) x = \dfrac{2}{3} x \)
Multipliziere die folgenden Monome.
1. ) \( ( - x^2) (- 2 x) = ( (-1) x^2) (-2 x)) = ((-1)(-2)) (x^2 x) = 2 x^3\)
2. ) \( (- x^2 y) (- y^2 x^2) = ((-1) x^2 y) ((-1) y^2 x^2) = ((-1)(-1))(x^2 y y^2 x^2) = (1) x^4 y^3 = x^4 y^3\)
3. ) \( (- \dfrac{1}{2} x^2) (- 2 x^2) = ((-\dfrac{1}{2}) (-2)) ( x^2 x^2) = (1) x^4 = x^4\)
4. ) \( (4 x y) (- \dfrac{3}{4} y^2 z) = (4 (- \dfrac{3}{4}) ) (x y y^2 z) = - 3 x y^3 z\)
5. ) \( (-2) (- \dfrac{3}{2} x^2 y) = ((-2)(- \dfrac{3}{2}))(x^2 y) = 3 x^2 y\)
Dividiere die folgenden Monome.
1. ) \( \dfrac{ x^3}{- x^2} = \dfrac{ (1) x^3}{(-1) x^2} = \dfrac{1}{-1} \cdot \dfrac{x^3}{x^2} = (-1) x = - x \)
2. ) \( \dfrac{ - 3 x^4}{ - x^2} = \dfrac{ - 3 x^4}{ (-1) x^2} = \dfrac{ - 3}{ - 1} \cdot \dfrac{x^4}{x^2} = 3 x^2\)
3. ) \( \dfrac{- 5 x^3 y^3}{ 15 x^2 y^2} = \dfrac{-5}{15} \dfrac{x^3}{x^2} \dfrac {y^3}{y^2} = -\dfrac{1}{3} x y \)
4. ) \( \dfrac{- 16 x^2 y^2 z^3}{ 8 x^2 y } = \dfrac{-16}{8} \dfrac{x^2}{x^2} \dfrac{y^2}{y } z^3 = - 2 y z^3 \)
5. ) \( \dfrac{- 20 x y^2 }{ - 5 } = \dfrac{-20}{-5} x y^2 = 4 x y^2 \)
Schreibe nach Möglichkeit als einzelnes Monom.
1. ) \( 9 x^2 y \cdot \dfrac{y^2}{3 x^2} = \dfrac{9x^2 y^3}{3x^2} = \dfrac{9}{3} \dfrac{x^2}{x^2} y^3 = 3 y^3 \)
2. ) \( x^2 y \cdot \dfrac{3x}{x^2} = \dfrac{3 x^3 y}{x^2} = 3 \dfrac{x^3}{x^2} y = 3 x y \)
3. ) \( \dfrac{y}{3 x^2} \cdot x^3 = \dfrac{y x^3}{3 x^2} = \dfrac{1}{3} \dfrac{x^3}{x^2} y = \dfrac{1}{3} x y \)
4. ) \( \dfrac{x^3}{2y^2} \cdot \dfrac{2x y^3}{x^2} = \dfrac{2 x^4 y^3}{2 y^2 x^2} = \dfrac{2}{2} \dfrac{x^4}{x^2} \dfrac{y^3}{y^2} = x^2 y \)