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Die Lösungen zu den oben quadratischen Gleichung sind durch die quadratische Formel
x 1 = [-b + sqrt (D)] / (2a) und x 2 = [-b - sqrt (D)] / (2a) D = b 2 - 4ac heisst Diskriminante und gibt Auskunft über die Anzahl und Art der Lösungen zu quadratischen Gleichungen. Drei Möglichkeiten: - Wenn D> 0, die quadratische Gleichung hat 2 echte Lösungen.
- Ist D = 0, hat die quadratische Gleichung 1 wirkliche Lösung.
- Wenn D <0, hat die Gleichung 2 konjugiert imaginären Lösungen.
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Beispiel 1: Lösen Sie grafisch und analytisch die Gleichung
2x2 + 3x - 5 = 0 Lösung Beispiel 1: Grafische Lösung: Verwenden Sie das Applet Koeffizienten a = 2 gesetzt ist, b = 3 und c = -5 und Graphen der Gleichung y = 2 x 2 + 3x - 5. Die Lösungen der Gleichung 2 x 2 + 3x - 5 = 0 entsprechen Punkte auf dem Graphen für die y = 0, welche die x-Abschnitte: Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse. Dies sind etwa x 1 = 1 und x 2 = -2,5. Analytische Lösung: - Angesichts
2 x 2 + 3x - 5 = 0
- Die Diskriminante D = b 2 - 4ac
D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 (2) (-5) = 49
- Diskriminanzanalyse D positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Lösungen gegeben.
x 1 = [-3 + sqrt (49)] / (2 * 2) = 1
x 2 = [-3 - sqrt (49)] / (2 * 2) = -2,5
Die grafische und analytische Lösungen sind gleich. Jedoch in der Regel grafische Lösungen sind nur ungefähre Werte. Beispiel 2: Lösen Sie grafisch und analytisch die Gleichung
x 2 + 4x + 4 = 0 Lösung Beispiel 2: Grafische Lösung: Verwenden Sie das Applet Koeffizienten a = 1 gesetzt ist, b = 4 und c = 4 und Schaubild die Gleichung y = x 2 + 4x + 4. Es gibt ein x abzufangen und der Graph berührt die x-Achse, aber nicht schneiden. Diese werden als Doppel-oder wiederholte Soultions. x = -2 Analytische Lösung: - Angesichts
x 2 + 4x + 4 = 0
- Die Diskriminante D = b 2 - 4ac
D = 16 - 4 * 4 = 0
- Diskriminante D ist gleich Null, hat die Gleichung ein Doppel-Lösung gegeben.
x =-b / 2 a = -4 / 2 (1) = -2
Die grafische und analytische Lösungen sind gleich. Beispiel 3: Lösen Sie grafisch und analytisch die Gleichung
- x 2 + 4 x - 5 = 0 Lösung Beispiel 3: Grafische Lösung: Verwenden Sie das Applet Koeffizienten a = -1 gesetzt, b = 4 und c = -5 und Graphen der Gleichung y = - x 2 + 4 x - 5. Es gibt keine x und fängt daher die obige Gleichung hat keine reellen Lösungen. Analytische Lösung: - Angesichts
- x 2 + 4 x - 5 = 0
- Die Diskriminante D = b 2 - 4ac
D = b 2 - 4ac = 4 2 - 4 (-1) (-5) = -4
- Diskriminanzanalyse D positiv ist, hat die Gleichung zwei imaginäre Konjugat Lösungen gegeben.
x 1 = [-4 + sqrt (-4)] / (2 * (-1)) = 2 - i
x 2 = [-4 - sqrt (-4)] / (2 * (-1)) = 2 + i
Wir können nicht die grafische Methode zur imaginären Lösungen einer Gleichung zu finden. Übungen: Lösen Sie graphisch (mit Hilfe des Applets) und analytisch die folgenden quadratischen Gleichungen.
1:-x 2 - 2 x = 1
2: x 2 + 2 x + 10 = 0
3: x 2 + 2 x = 0 Lösungen für die Vor-Übungen
1: grafische: ein Doppel-Lösung -1, analytische: ein Doppel-Lösung -1
2: grafische: none; Analyse: zwei imaginäre Konjugat-Lösungen: -1 - 3i und -1 + 3i
3: grafische: 0 und -2, analytische: 0 und -2 Weitere Referenzen und Links zu quadratischen Gleichungen.
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