Diese Seite präsentiert eine sorgfältig ausgewählte Sammlung von Fragen zu Funktionen, jeweils gefolgt von einer detaillierten Lösung. Die Fragen decken Schlüsselkonzepte ab, wie die Definition einer Funktion, Definitionsbereich und Wertebereich, Auswertung, Komposition, und Graphentransformationen.
Ist der unten gezeigte Graph der Graph einer Funktion?
Gemäß dem vertikalen Linientest schneidet eine vertikale Linie bei \(x = 0\) den Graphen an zwei Punkten. Daher stellt der Graph keine Funktion dar.
Stellt die Gleichung \[ y^2 + x = 1 \] eine Funktion \(y\) in Abhängigkeit von \(x\) dar?
Auflösen nach \(y\): \[ y^2 = 1 - x \] \[ y = \pm \sqrt{1 - x} \] Für einen gegebenen Wert von \(x\) gibt es zwei mögliche Werte von \(y\). Daher definiert die Relation keine Funktion.
Die Funktion \(f\) ist definiert durch \[ f(x) = -2x^2 + 6x - 3 \] Berechne \(f(-2)\).
\[ f(-2) = -2(-2)^2 + 6(-2) - 3 = -23 \]
Die Funktion \(h\) ist definiert durch \[ h(x) = 3x^2 - 7x - 5 \] Berechne \(h(x - 2)\).
Ersetze \(x\) durch \(x - 2\): \[ h(x - 2) = 3(x - 2)^2 - 7(x - 2) - 5 \] \[ = 3(x^2 - 4x + 4) - 7x + 14 - 5 \] \[ = 3x^2 - 19x + 7 \]
Die Funktionen \(f\) und \(g\) sind definiert durch \[ f(x) = -7x - 5, \qquad g(x) = 10x - 12 \] Berechne \((f + g)(x)\).
\[ (f + g)(x) = (-7x - 5) + (10x - 12) = 3x - 17 \]
\[ f(x) = \frac{1}{x} + 3x, \qquad g(x) = -\frac{1}{x} + 6x - 4 \] Berechne \((f + g)(x)\) und seinen Definitionsbereich.
\[ (f + g)(x) = 9x - 4 \] Der Definitionsbereich schließt \(x = 0\) aus: \[ (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \]
\[ f(x) = x^2 - 2x + 1, \qquad g(x) = (x - 1)(x + 3) \] Berechne \((f / g)(x)\) und seinen Definitionsbereich.
\[ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 3)} = \frac{x - 1}{x + 3} \] Einschränkungen: \(x \neq -3, 1\) \[ (-\infty,-3)\cup(-3,1)\cup(1,\infty) \]
Finde den Definitionsbereich von \[ h(x) = \sqrt{x - 2} \]
\[ x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2 \] Definitionsbereich: \[ [2, \infty) \]
\[ g(x) = \sqrt{-x^2 + 9} + \frac{1}{x - 1} \] Finde den Definitionsbereich.
\[ -x^2 + 9 \ge 0 \Rightarrow -3 \le x \le 3 \] \[ x \neq 1 \] Definitionsbereich: \[ [-3,1) \cup (1,3] \]
\[ f(x) = |x - 2| + 3 \] Finde den Wertebereich.
Für \( x \) in \( \R \) \[ |x - 2| \ge 0 \Rightarrow |x - 2| + 3 \ge 3 \Rightarrow f(x) \ge 3 \] Wertebereich: \[ [3, \infty) \]
\[ f(x) = -x^2 - 10 \] Finde den Wertebereich.
Für \( x \) in \( \R \) \[ -x^2 \le 0 \Rightarrow -x^2 - 10 \le -10 \Rightarrow f(x) \le -10 \] Wertebereich: \[ (-\infty, -10] \]
\[ h(x) = x^2 - 4x + 9 \] Finde den Wertebereich.
Vervollständige die quadratische Ergänzung: \[ h(x) = (x - 2)^2 + 5 \] Für \( x \) in \( \R \) \[ (x - 2)^2 \ge 0 \Rightarrow (x - 2)^2 + 5 \ge 5 \Rightarrow h(x) \ge 5 \] Wertebereich: \[ [5, \infty) \]
\[ g(x) = \sqrt{x - 1}, \qquad h(x) = x^2 + 1 \] Berechne \((g \circ h)(x)\).
\[ (g \circ h)(x) = g(h(x)) = \sqrt{h(x) - 1} = \sqrt{x^2} = |x| \]
Drücke die Fläche \(A \) eines Quadrats als Funktion seines Umfangs \( P \) aus.
\[ P = 4x \Rightarrow x = \frac{P}{4} \] \[ A = x^2 = \frac{P^2}{16} \]