Definitionsbereich und Wertebereich von Relationen finden
Beispiele und Fragen mit Lösungen

Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich einer Relation anhand ihres Graphen. Beispiele werden zusammen mit ausführlichen Lösungen und Erklärungen präsentiert, sowie weitere Fragen mit detaillierten Lösungen.

Beispiele mit Lösungen

Beispiel 1
a) Finde den Definitionsbereich und b) den Wertebereich der Relation anhand ihres Graphen unten und c) gib an, ob die Relation eine Funktion ist oder nicht.

Graph der Relation für Beispiel 1

Lösung:
a)
Definitionsbereich: Finde zunächst die beiden Punkte auf dem Graphen der gegebenen Relation mit der kleinsten und größten x-Koordinate. In diesem Beispiel sind dies die Punkte A(-2,-4) und B(4,-6) (siehe oben). Der Definitionsbereich ist die Menge aller x-Werte von der kleinsten x-Koordinate (von A) bis zur größten x-Koordinate (von B) und wird geschrieben als:
-2 ≤ x ≤ 4
Die Doppelungleichheit hat das Ungleichheitssymbol ≤ auf beiden Seiten, da die geschlossenen Kreise an den Punkten A und B darauf hinweisen, dass die Relation bei diesen Werten von x definiert ist.
b)
Wertebereich: Finde die Koordinaten der beiden Punkte auf dem Graphen mit dem kleinsten und dem größten Wert der y-Koordinate. In diesem Beispiel sind dies die Punkte B(4,-6) und C(2,2). Der Wertebereich ist die Menge aller y-Werte zwischen den kleinsten und größten y-Koordinaten und wird durch die Doppelungleichung ausgedrückt:
-6 ≤ y ≤ 2
Das Ungleichheitssymbol ≤ wird auf beiden Seiten verwendet, da die geschlossenen Kreise an den Punkten B und C darauf hinweisen, dass die Relation bei diesen Werten von y definiert ist.
c)
Die oben dargestellte Relation ist eine Funktion, da keine vertikale Linie den gegebenen Graphen an mehr als einem Punkt schneiden kann.

Beispiel 2
Finde den a) Definitionsbereich und b) Wertebereich der Relation anhand ihres Graphen unten und c) gib an, ob die Relation eine Funktion ist oder nicht.

Graph der Relation für Beispiel 2

Lösung:
a)
Definitionsbereich: In diesem Beispiel haben die Punkte A(-3,-5) und B(8,4) die kleinste und die größte x-Koordinaten, daher ist der Definitionsbereich gegeben durch:
-3 ≤ x ≤ 8
Das Symbol ≤ wird auf beiden Seiten verwendet, da die geschlossenen Kreise an den Punkten A und B darauf hinweisen, dass die Relation bei diesen Werten von x definiert ist.
b)
Wertebereich: Die Punkte A und B haben die kleinsten und größten Werte der y-Koordinate. Der Wertebereich wird durch die Ungleichung ausgedrückt:
-5≤ y ≤ 4
Das Symbol ≤ wird auf beiden Seiten verwendet, da die geschlossenen Kreise an den Punkten A und B darauf hinweisen, dass die Relation bei diesen Werten von y definiert ist.
c)
Keine vertikale Linie kann den gegebenen Graphen an mehr als einem Punkt schneiden, und daher ist die oben dargestellte Relation eine Funktion.

Beispiel 3
Finde den a) Definitionsbereich und b) Wertebereich der Relation anhand ihres Graphen unten und c) gib an, ob die Relation eine Funktion ist oder nicht.

Graph der Relation für Beispiel 3

Lösung:
a)
Definitionsbereich: Die Punkte A(-3,-2) und B(1,-2) haben die kleinste und größte x-Koordinaten, daher ist der Definitionsbereich gegeben durch:
-3 ≤ x ≤ 1
Das Symbol ≤ wird auf beiden Seiten verwendet, da die geschlossenen Kreise an den Punkten A und B darauf hinweisen, dass die Relation bei diesen Werten von x definiert ist.
b)
Wertebereich: Die Punkte C(-1,-5) und D(-1,1) haben die kleinste und größte y-Koordinaten. Der Wertebereich wird durch die Doppelungleichung ausgedrückt:
- 5≤ y ≤ 1
Die Relation ist bei den Punkten C und D (geschlossene Kreise) definiert, daher wird das Ungleichheitssymbol ≤ verwendet.
c)
Es gibt mindestens eine vertikale Linie, die den gegebenen Graphen an zwei Punkten schneidet (siehe Graph unten), und daher ist die oben dargestellte Relation KEINE Funktion.

Graph der Relation für Beispiel 3

Beispiel 4
Finde den a) Definitionsbereich und b) Wertebereich der Relation anhand ihres Graphen unten und c) gib an, ob die Relation eine Funktion ist oder nicht.

Graph der Relation für Beispiel 4

Lösung:
a)
Definitionsbereich: Der Punkt A(-3,0) hat die kleinste x-Koordinate. Der Pfeil oben rechts im Graphen zeigt an, dass der Graph weiter nach links geht, wenn x zunimmt. Daher gibt es keine Begrenzung für die größte x-Koordinate der Punkte auf dem Graphen. Der Definitionsbereich ist durch alle Werte größer oder gleich der kleinsten x-Werte x = -3 gegeben und wird geschrieben als:
x ≥ -3
Das Symbol ≥ wird verwendet, da die Relation bei x = -3 definiert ist (geschlossener Kreis bei A).
b)
Wertebereich: Die Punkte B und C haben gleiche und kleinste y-Koordinaten gleich -2. Der Pfeil oben rechts im Graphen zeigt an, dass die y-Koordinate zunimmt, wenn x zunimmt. Daher gibt es keine Begrenzung für die y-Koordinate, und daher ist der Wertebereich durch alle Werte größer oder gleich dem kleinsten y-Wert y = -2 gegeben und wird geschrieben als:
y ≥ -2
Das Ungleichheitssymbol ≥ wird verwendet, da die Relation bei y = -2 definiert ist (geschlossene Kreise bei B und C).
c)
Es gibt keine vertikale Linie, die den gegebenen Graphen an mehr als einem Punkt schneidet (siehe Graph unten), und daher ist die oben dargestellte Relation eine Funktion.

Beispiel 5
Finde den a) Definitionsbereich und b) Wertebereich der Relation anhand ihres Graphen unten und c) gib an, ob die Relation eine Funktion ist oder nicht.

Graph der Relation für Beispiel 5

Lösung:
a)
Definitionsbereich: Der Punkt A(-2,-3) hat die kleinste x-Koordinate. Der Pfeil oben rechts im Graphen zeigt an, dass der Graph weiter nach links geht, wenn x zunimmt. Daher gibt es keine Begrenzung für die größte x-Koordinate der Punkte auf dem Graphen. Der Definitionsbereich ist durch alle Werte größer als der kleinste x-Wert x = - 2 gegeben und wird geschrieben als:
x > -2
Wir verwenden das Ungleichheitssymbol > (ohne Gleich), da die Relation bei x = -2 nicht definiert ist (offener Kreis bei Punkt A).
b)
Wertebereich: Der Punkt A(-2,-3) hat die kleinste y-Koordinate gleich - 3. Der Pfeil oben rechts im Graphen zeigt an, dass die y-Koordinate zunimmt, wenn x zunimmt. Daher gibt es keine Begrenzung für die y-Koordinate. Daher ist der Wertebereich durch alle Werte größer als dem kleinsten y-Wert y = - 3 gegeben und wird geschrieben als:
y > - 3
Das Ungleichheitssymbol > wird verwendet, da die Relation bei y = - 3 nicht definiert ist (offener Kreis bei Punkt A).
c)
Der Graph stellt eine Funktion dar, da es keine vertikale Linie gibt, die den gegebenen Graphen an mehr als einem Punkt schneidet.