Sinusfunktionen sind leistungsstarke mathematische Werkzeuge zur Modellierung periodischer Phänomene, die sich im Laufe der Zeit wiederholen. Diese Webseite untersucht, wie Sinusfunktionen helfen, reale Probleme in den Bereichen Bewegung, Zyklen und Schwingungen zu lösen. Ob bei der Analyse schwingender Massen, der Vorhersage von Tageslichtstunden im Jahresverlauf, der Schätzung von monatlichen Durchschnittstemperaturen, der Modellierung einer Riesenradrotation, dem Verständnis von Ebbe und Flut oder der Optimierung von Solarpanel-Leistung – Sinusfunktionen liefern präzise und praktische Lösungen. Tauchen Sie in die Beispiele ein und sehen Sie, wie Mathematik durch Sinusmodelle auf die reale Welt trifft.
Aufgaben mit Lösungen
Aufgabe 1
Eine an einer Feder befestigte Masse wird in Richtung Boden gezogen, sodass ihre Höhe über dem Boden 10 mm (Millimeter) beträgt. Die Masse wird dann losgelassen und beginnt auf und ab zu schwingen. Sie erreicht eine maximale Höhe von 20 mm bzw. eine minimale Höhe von 10 mm, bei einer Zyklusdauer von 0,8 Sekunden.
- Angenommen, die Höhe $h(t)$ der Masse ist eine Sinusfunktion, wobei $t$ die Zeit in Sekunden ist. Skizzieren Sie den Graphen von $h$ von $t = 0$ bis $t = 0,8$ Sekunden. $t = 0$ ist der Zeitpunkt, zu dem die Masse losgelassen wird.
- Finden Sie eine Sinusfunktion für die Höhe $h(t)$.
- Wie viele Sekunden lang ist die Höhe der Masse während eines Zyklus über 17 mm?
Lösung
-
Die Masse wird bei $t = 0$ losgelassen, wenn $h$ ihr Minimum erreicht. Einen halben Zyklus später erreicht $h$ ihr Maximum und nach einem weiteren halben Zyklus wieder ihr Minimum. Der Verlauf von $h$ über einen Zyklus variiert daher mit $t$ wie folgt:
-
Gemäß dem in Teil a) erhaltenen Graphen kann $h(t)$ durch eine Kosinusfunktion modelliert werden, die vertikal nach oben und horizontal nach rechts verschoben wurde. Daher:
$$ h(t) = a \cos[ b(t - d) ] + c $$
Sei $h_{\max}$ der Maximalwert von $h$ und $h_{\min}$ der Minimalwert von $h$. Daher gilt:
$$ |a| = \dfrac{h_{\max} - h_{\min}}{2} = \dfrac{20 - 10}{2} = 5 , \quad a = \pm 5 $$
$$ c = \dfrac{h_{\max} + h_{\min}}{2} = \dfrac{20 + 10}{2} = 15 $$
$$ \text{Periode} = \dfrac{2\pi}{|b|} = 0,8 \Rightarrow b = \pm 2,5\pi $$
Wir verwenden $a = 5$ und $b = 2,5\pi$. Die Verschiebung der Kosinusfunktion nach rechts beträgt eine halbe Periode. Daher $d = 0,4$.
$$ h(t) = 5 \cos[ 2,5\pi(t - 0,4) ] + 15 $$
Überprüfung, ob $h$ ein Minimum bei $t = 0$ hat:
$$ h(0) = 5 \cos[ 2,5\pi(0 - 0,4) ] + 15 = 5 \cos( -\pi ) + 15 = 10 $$
Überprüfung, ob $h$ ein Maximum bei $t = 0,4$ hat:
$$ h(0,4) = 5 \cos[ 2,5\pi(0,4 - 0,4) ] + 15 = 5 \cos( 0 ) + 15 = 20 $$
-
Unten ist der Graph von $y = h(t)$ und $y = 17$ dargestellt. Wir müssen zuerst $t_1$ und $t_2$ finden – das sind die Werte für $t$, bei denen $h(t) = 17$ gilt –, indem wir die folgende Gleichung lösen:
$$ 5 \cos[ 2,5\pi(t - 0,4) ] + 15 = 17 $$
$$ \cos[ 2,5\pi(t - 0,4) ] = \dfrac{17 - 15}{5} = 0,4 $$
$$ 2,5\pi(t - 0,4) = \arccos(0,4) $$
$$ t = \dfrac{\arccos(0,4)}{2,5\pi} + 0,4 \approx 0,547 \text{ Sekunden} $$
Die oben gefundene Lösung $t$ ist größer als $0,4$ (die Position des Maximums) und kleiner als $0,8$, sie entspricht also $t_2$. Daher gilt:
$$ t_2 = \dfrac{\arccos(0,4)}{2,5\pi} + 0,4 \approx 0,547 \text{ Sekunden} $$
$t_1$ wird mithilfe der Symmetrie der beiden Lösungen bezüglich der Position des Maximums bei $t = 0,4$ ermittelt. Daher gilt:
$$ t_1 = 0,4 - (0,547 - 0,4) \approx 0,252 \text{ Sekunden} $$
Die Höhe der Masse beträgt für folgende Zeitspanne mehr als 17 mm:
$$ t_2 - t_1 = 0,547 - 0,252 = 0,295 \text{ Sekunden} $$
Aufgabe 2
Die Anzahl der Tageslichtstunden $H$ in einem bestimmten Gebiet wird näherungsweise durch die Funktion
$$ H(t) = 2,5 \cos\left[ b(t - d) \right] + 11,5 $$
gegeben, wobei $H$ in Stunden und $t$ in Tagen gemessen wird. Die Funktion hat eine Periode von einem Jahr (365 Tage).
- Bestimmen Sie $b$ ($b > 0$) und $d$, wenn $H$ am 21. Juni (der Monat Februar hat 28 Tage) sein Maximum erreicht.
- An welchem Tag ist das Tageslicht am kürzesten (die kleinste Anzahl an Tageslichtstunden)?
Lösung
-
Da die Periode bekannt ist und 365 Tage beträgt, verwenden wir die Formel:
$$ 365 = \dfrac{2\pi}{b} \quad \Rightarrow \quad b = \dfrac{2\pi}{365} $$
Wenn wir $d = 0$ in der Funktion
$$ H(t) = 2,5 \cos[b(t - d)] + 11,5 $$
setzen, ergibt sich
$$ H(t) = 2,5 \cos(bt) + 11,5 $$
was ein Maximum bei $t = 0$ hat.
In unserem Problem tritt das Maximum am 21. Juni auf, was
$$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 $$
(Tage vom 1. Januar bis zum 21. Juni) entspricht.
Daher beträgt die horizontale Verschiebung 172 Einheiten nach rechts, und $d = 172$. Somit gilt:
$$ H(t) = 2,5 \cos\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right] + 11,5 $$
-
Der kürzeste Tag entspricht dem Wert von $t$, der das Minimum von $H$ ergibt, welches
$$ 11,5 - 2,5 = 9 $$
ist. Wir lösen die Gleichung:
$$ 2,5 \cos\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right] + 11,5 = 9 $$
$$ \cos\left[\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right] = \dfrac{9 - 11,5}{2,5} = -1 = \cos(\pi) $$
was zu folgendem Ergebnis führt:
$$ \dfrac{2\pi}{365}(t - 172) = \pi $$
$$ t = \dfrac{365\pi}{2\pi} + 172 = 354,5 \text{ Tage} $$
Hinweis: Wir hätten dies auch bestimmen können, indem wir erkennen, dass die Zeit von einem Maximum bis zum folgenden Minimum bei einer Kosinusfunktion eine halbe Periode beträgt. Daher tritt das Minimum auf bei:
$$ t = 172 + \dfrac{1}{2}(365) = 354,5 \text{ Tage} $$
Um die Anzahl der Tage von Januar bis einschließlich November zu berechnen:
$$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 = 334 $$
Die Anzahl der Tage im Dezember ist dann:
$$ 354,5 - 334 = 20,5 $$
was näherungsweise dem 21. Dezember entspricht.
Aufgabe 3
Die monatliche Durchschnittstemperatur $T$ (in $^{\circ} \mathrm{C}$) einer Stadt kann näherungsweise durch
$$ T(t) = a \cos\left[ b(t - d) \right] + c $$
dargestellt werden, wobei $t$ die Zeit in Monaten ist, $t = 0$ dem 1. Januar entspricht und wir annehmen, dass die Funktion $T(t)$ eine Periode von 12 Monaten hat.
- Finden Sie $a$, $b$ (mit $b > 0$), $c$ und $d$, wenn $T$ ein Maximum von $22,4^{\circ} \mathrm{C}$ Mitte Juli ($t = 6,5$) und ein Minimum von $-10^{\circ} \mathrm{C}$ hat.
- In welchem Monat ist $T$ minimal?
- Über wie viele Monate ist $T$ größer als $18^{\circ} \mathrm{C}$?
Lösung
-
Die Minimal- und Maximalwerte von $T$, bezeichnet als $T_{\text{max}}$ bzw. $T_{\text{min}}$, erlauben es uns, $a$ und $c$ wie folgt zu bestimmen:
Gegeben sind:
$$ T_{\text{max}} = 22,4 \quad \text{und} \quad T_{\text{min}} = -10 $$
$$ c = \dfrac{T_{\text{max}} + T_{\text{min}}}{2} = 6,2 $$
$$ |a| = \dfrac{T_{\text{max}} - T_{\text{min}}}{2} = 16,2 \quad \text{(wir wählen } a > 0 \text{)} $$
Der Graph von $T$ entspricht einer Kosinusfunktion $a \cos(bt)$, die um 6,5 Einheiten nach rechts verschoben ist. Daher gilt:
$$ T(t) = 16,2 \cos[ b(t - 6,5) ] + 6,2 $$
Wir verwenden nun die Periode, um $b$ zu finden. Die Periode beträgt 12, und da
$$ \text{Periode} = \dfrac{2\pi}{b} = 12 , \quad \text{erhalten wir } b = \dfrac{\pi}{6} $$
Somit lautet die Temperaturfunktion:
$$ T(t) = 16,2 \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] + 6,2 $$
-
Finden Sie $t$, für das $T$ minimal ist. Der Minimalwert von $T$ beträgt -10. Wir lösen:
$$ 16,2 \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] + 6,2 = -10 $$
$$ \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] = -1 = \cos(\pi) $$
$$ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) = \pi $$
$$ t = 12,5 $$
Hinweis: Wir hätten dies auch beantworten können, indem wir die Tatsache nutzen, dass der Abstand zwischen einem Maximum und dem nächsten Minimum in einer Sinusfunktion eine halbe Periode beträgt. Also:
$$ t = 6,5 + \dfrac{1}{2}(12) = 12,5 \text{ Monate} $$
Da $t = 12,5$ etwas mehr als eine Periode (12 Monate) entspricht, liegt dies Mitte Januar, was bedeutet, dass die Temperatur um diese Zeit minimal ist.
-
Wir finden nun die Zeiten $t_1$ und $t_2$, zu denen $T = 18$ ist, indem wir die Gleichung lösen:
$$ 16,2 \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] + 6,2 = 18 $$
$$ \cos\left[ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] = \dfrac{18 - 6,2}{16,2} $$
$$ \dfrac{\pi}{6}(t - 6,5) = \arccos\left( \dfrac{18 - 6,2}{16,2} \right) $$
$$ t = \dfrac{6}{\pi} \arccos\left( \dfrac{18 - 6,2}{16,2} \right) + 6,5 = 7,94 \text{ Monate} $$
Vom Graphen von $T(t)$ und der horizontalen Linie $y = 18$ ausgehend, entspricht die Lösung $t = 7,94$ dem Wert $t_2 = 7,94$. Durch Symmetrie ergibt sich:
$$ t_1 = 6,5 - (t_2 - 6,5) = 6,5 - (7,94 - 6,5) = 5,06 \text{ Monate} $$
Die Anzahl der Monate, in denen $T > 18$ gilt, ist:
$$ t_2 - t_1 = 7,94 - 5,06 = 2,88 \text{ Monate (etwa 3 Monate)} $$
Aufgabe 4
Der Durchmesser eines großen Riesenrads beträgt 48 Meter und es benötigt 2,8 Minuten für eine volle Umdrehung. Ein Fahrer steigt bei $t = 0$ am tiefsten Punkt ein, der 60 cm über dem Boden liegt.
- Finden Sie eine Sinusfunktion $h(t)$, die die Höhe $h$ des Fahrers in Metern über dem Boden als Funktion der Zeit $t$ in Minuten angibt.
- Finden Sie die Zeitintervalle, in denen sich der Fahrer im Zeitraum von $t = 0$ bis $t = 2,8$ Minuten in einer Höhe von weniger als 30 Metern befindet.
- Wie viele Minuten dauert es ab $t = 0$, bis der Fahrer zum zweiten Mal den höchsten Punkt erreicht?
Lösung
-
Die minimale Höhe $h_{\min}$ über dem Boden beträgt 0,6 Meter. Die maximale Höhe $h_{\max}$ entspricht der minimalen Höhe plus dem Durchmesser des Rades.
$$ h_{\max} = 0,6 + 48 = 48,6 $$
Da $h(t)$ bei $t = 0$ ein Minimum erreicht, lässt es sich am einfachsten durch eine gespiegelte Kosinusfunktion modellieren. Daher:
$$ h(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$
$$ |a| = \dfrac{h_{\max} - h_{\min}}{2} = \dfrac{48,6 - 0,6}{2} = 24 $$
Zwei Lösungen für $a$ sind $\pm 24$.
Wir wählen $a = -24$, wobei das Minuszeichen die Spiegelung an der horizontalen Achse berücksichtigt.
$$ c = \dfrac{h_{\max} + h_{\min}}{2} = \dfrac{48,6 + 0,6}{2} = 24,6 $$
Die Periode beträgt 2,8, und da gilt:
$$ \text{Periode} = \dfrac{2\pi}{b} \Rightarrow b = \dfrac{2\pi}{2,8} $$
$$ h(t) = -24 \cos\left( \dfrac{2\pi}{2,8} t \right) + 24,6 $$
Überprüfung: Bei $t = 0$ ist:
$$ h(0) = -24 \cos(0) + 24,6 = -24(1) + 24,6 = 0,6 \, \text{m} $$
Bei $t = 1,4$ (eine halbe Periode später) ist:
$$ h(1,4) = -24 \cos\left( \dfrac{2\pi}{2,8} \cdot 1,4 \right) + 24,6 = -24 \cos(\pi) + 24,6 = 48,6 \, \text{m} $$
-
Wir müssen zuerst die Gleichung lösen:
$$ -24 \cos\left( \dfrac{2\pi}{2,8} t \right) + 24,6 = 30 $$
$$ \cos\left( \dfrac{2\pi}{2,8} t \right) = \dfrac{30 - 24,6}{-24} $$
$$ t = \dfrac{2,8}{2\pi} \arccos\left( \dfrac{30 - 24,6}{-24} \right) = 0,8 \, \text{Minuten} $$
Die Lösung entspricht $t_1$, dem ersten Schnittpunkt des Graphen von $h(t)$ mit der Linie $y = 30$. Daher gilt:
$$ t_1 = 0,8 \, \text{min}, \quad t_2 = 2,8 - 0,8 = 2 \, \text{min} $$
$h(t) \lt 30$ von $t = 0$ bis $t = 0,8$ und von $t = 2$ bis $t = 2,8$, was insgesamt 1,6 Minuten entspricht.
-
Der Fahrer erreicht den höchsten Punkt zum ersten Mal bei $t = \dfrac{1}{2} \cdot 2,8 = 1,4$ Minuten und erneut bei:
$$ t = 1,4 + 2,8 = 4,2 \, \text{Minuten} $$
um den höchsten Punkt zum zweiten Mal zu erreichen.
Aufgabe 5
Aufgrund der Gravitationswirkung von Mond und Sonne auf die Erde steigen und fallen die Wassermassen in Meeren und Ozeanen periodisch, was als Ebbe und Flut bezeichnet wird. In einer typischen Situation beträgt die Zeit zwischen zwei Fluten knapp 12 Stunden. In einem bestimmten Küstengebiet kann die Wassertiefe näherungsweise durch eine Sinusfunktion der Form
$$ d(t) = -2,5 \cos\left[ b(t - 2) \right] + 3,5 $$
beschrieben werden, wobei $d$ in Metern und $t$ in Stunden angegeben ist und $t = 0$ Mitternacht (12 Uhr nachts) entspricht.
- Bestimmen Sie $b$ ($b > 0$), wenn $d$ eine Periode von 12 Stunden hat.
- Zu welcher Zeit zwischen $t = 0$ und $t = 12$ ist $d$ am kleinsten (Ebbe) und zu welcher Zeit am größten (Flut)?
- Was sind die Zeitintervalle zwischen $t = 0$ und $t = 12$, in denen die Wassertiefe 4,5 Meter oder mehr beträgt?
Lösung
-
Unter Verwendung der Periode erhalten wir:
$$ 12 = \dfrac{2\pi}{b} $$
$$ b = \dfrac{\pi}{6} $$
-
$d(t)$ ist nun gegeben durch
$$ d(t) = -2,5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3,5 $$
Der kleinste Wert von $d$ ist
$$ -2,5 + 3,5 = 1 $$
Daher ist $d$ am kleinsten für $t$, wenn gilt:
$$ -2,5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3,5 = 1 $$
Nach Auflösung erhält man:
$$ \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) = 1 $$
$$ \dfrac{\pi}{6}(t - 2) = 0 $$
$$ t = 2 \quad \text{(entspricht 2:00 Uhr morgens)} $$
Der größte Wert von $d$ ist
$$ 2,5 + 3,5 = 6 $$
Daher ist $d$ am größten für $t$, wenn gilt:
$$ -2,5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3,5 = 6 $$
Nach Auflösung erhält man:
$$ \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) = -1 $$
$$ \dfrac{\pi}{6}(t - 2) = \pi $$
$$ t = 8 \quad \text{(entspricht 10:00 Uhr morgens)} $$
HINWEIS: Wir hätten Teil b) auch beantworten können, indem wir die Tatsache nutzen, dass der Abstand zwischen einem Minimum und dem darauf folgenden Maximum in einer Sinusfunktion eine halbe Periode beträgt. Daher:
$$ d \text{ ist maximal bei } t = 2 + \dfrac{1}{2} \cdot 12 = 8 $$
-
Wir müssen zuerst $t$ finden, für das $h(t) = 4,5$ gilt, indem wir die Gleichung lösen:
$$ -2,5 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3,5 = 4,5 $$
Dies kann umgeformt werden zu:
$$ \cos\left( \dfrac{\pi}{6}(t - 2) \right) = \dfrac{1}{-2,5} $$
Nach Auflösung nach $t$:
$$ t_1 = \dfrac{6}{\pi}\cdot \arccos\left( -\dfrac{1}{2,5} \right) + 2 \approx 5,8 \text{ Stunden} $$
$$ t_2 = 8 + (8 - 5,8) = 10,2 \text{ Stunden (unter Verwendung der Symmetrie bezüglich der Position des Maximums)} $$
Die Gesamtzahl der Stunden, während derer $d(t) > 4,5 \, \text{m}$ gilt, beträgt:
$$ 10,2 - 5,8 = 4,4 \text{ Stunden} $$
Aufgabe 6
Aufgrund von Ebbe und Flut kann die Wassertiefe $d$ in einem bestimmten Küstengebiet durch eine Sinusfunktion ausgedrückt werden. Die höchste Flut tritt um 8:00 Uhr morgens auf, und die niedrigste Tide folgt 6 Stunden später. Der maximale Wasserstand beträgt 2,8 Meter, der niedrigste Wasserstand 0,4 Meter.
- Verwenden Sie Sinusfunktionen, um die Wassertiefe $d(t)$ in Metern als Funktion der Zeit $t$ in Stunden zu bestimmen. (Nehmen Sie an, dass 8:00 Uhr morgens $t = 0$ entspricht).
- Bestimmen Sie die Wassertiefe am Mittag.
- Verwenden Sie den Graphen von $d(t)$ und analytische Berechnungen, um das Zeitintervall zu bestimmen, in dem die Tiefe $d$ zwischen 12:00 Uhr mittags und 18:00 Uhr abends unter 1,5 m liegt.
Lösung
-
Sei $d(t)$ wie folgt definiert:
$$ d(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$
Das Minimum $d_{\min}$ und das Maximum $d_{\max}$ von $d$ sind:
$$ d_{\min} = 0,4 $$
$$ d_{\max} = 2,8 $$
$$ c = \dfrac{d_{\max} + d_{\min}}{2} = \dfrac{2,8 + 0,4}{2} = 1,6 $$
$$ |a| = \dfrac{d_{\max} - d_{\min}}{2} = \dfrac{2,8 - 0,4}{2} = 1,2 $$
Da $d(t)$ bei $t = 0$ (8:00 Uhr morgens) ein Minimum hat, können wir $a = -1,2$ und $d = 0$ wählen:
$$ d(t) = -1,2 \cos(bt) + 1,6 $$
wobei leicht zu überprüfen ist, dass $d = -1,2 + 1,6 = 0,4$ bei $t = 0$ gilt.
Wir verwenden nun die Periode, um $b$ ($b > 0$) wie folgt zu bestimmen:
$$ \text{Periode} = 12 = \dfrac{2\pi}{b} $$
$$ \Rightarrow b = \dfrac{\pi}{6} $$
$d(t)$ lautet nun:
$$ d(t) = -1,2 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}t \right) + 1,6 $$
wobei leicht zu überprüfen ist, dass das Maximum bei $t = 6$ auftritt.
-
Am Mittag ist $t = 4$, daher:
$$ d(4) = -1,2 \cos\left( \dfrac{\pi}{6} \cdot 4 \right) + 1,6 = 2,2 \, \text{m} $$
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Der Graph von $d(t)$ ist unten dargestellt, mit vertikalen Linien für 12:00 Uhr bis 18:00 Uhr und einer horizontalen Linie für $d = 1,5$. Die Wassertiefe liegt von $t_0$ bis 18:00 Uhr ($t = 10$) unter 1,5 m. Wir müssen $t_0$ finden, den Schnittpunkt von $d(t)$ und $y = 1,5$, indem wir die Gleichung lösen:
$$ -1,2 \cos\left( \dfrac{\pi}{6}t \right) + 1,6 = 1,5 $$
$$ t = \dfrac{6 \cdot \arccos\left( \dfrac{1,5 - 1,6}{-1,2} \right)}{\pi} \approx 2,84 $$
Die gefundene Lösung entspricht dem linken Schnittpunkt von $d(t)$ und $y = 1,5$. Der rechte Punkt $t_0$ kann mithilfe der Symmetrie des Graphen bezüglich des Maximums gefunden werden. Daher:
$$ t_0 = 6 + (6 - 2,84) = 9,16 \, \text{Stunden} $$
$0,16$ Stunden entsprechen:
$$ 0,16 \times 60 \, \text{Minuten} \approx 10 \text{ Minuten} $$
$9,16$ Stunden entsprechen:
$$ \approx 17:10 \, \text{Uhr} $$
Zwischen 12:00 Uhr mittags und 18:00 Uhr abends ist die Wassertiefe von 17:10 Uhr bis 18:00 Uhr unter 1,5 m.
Aufgabe 7
Ein Solaranlagensystem erzeugt eine tägliche Durchschnittsleistung $P$, die sich im Laufe des Jahres ändert. Sie ist am 21. Juni (dem Tag mit der höchsten Anzahl an Tageslichtstunden) am höchsten und beträgt $20 \ \text{kWh/Tag}$. Wir nehmen an, dass $P$ mit der Zeit $t$ gemäß einer Sinusfunktion variiert:
$$ P(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$
wobei $t = 0$ dem ersten Januar entspricht, $P$ die Leistung in kWh/Tag ist und $P(t)$ eine Periode von 365 Tagen (mit 28 Tagen im Februar) hat. Der Mindestwert von $P$ beträgt $4 \ \text{kWh/Tag}$.
- Bestimmen Sie die Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$.
- Skizzieren Sie $P(t)$ über eine Periode von $t = 0$ bis $t = 365$.
- Wann ist die vom Solarsystem erzeugte Leistung minimal?
- Die vom Solarsystem erzeugte Leistung reicht aus, um eine Gruppe von Maschinen zu betreiben, wenn die Leistung des Systems größer oder gleich $16 \ \text{kWh/Tag}$ ist. Für wie viele Tage im Jahr ist die vom System erzeugte Leistung ausreichend?
Lösung
-
Sei $P(t)$ wie folgt geschrieben:
$$ P(t) = a \cos[b(t - d)] + c $$
Das Minimum $P_{\min}$ und das Maximum $P_{\max}$ von $P(t)$ sind gegeben:
$$ P_{\min} = 4 $$
$$ P_{\max} = 20 $$
$$ c = \dfrac{P_{\max} + P_{\min}}{2} = \dfrac{20 + 4}{2} = 12 $$
$$ |a| = \dfrac{P_{\max} - P_{\min}}{2} = \dfrac{20 - 4}{2} = 8 $$
Wir müssen nun die Anzahl der Tage $t$ nach dem 1. Januar finden, an denen $P(t)$ maximal ist, indem wir die Tage der Monate von Januar bis Mai zählen und 21 Tage im Juni hinzufügen:
$$ t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 $$
Wir verwenden nun die Periode, um $b$ ($b > 0$) zu finden:
$$ \text{Periode} = 365 = \dfrac{2\pi}{b} $$
$$ \Rightarrow b = \dfrac{2\pi}{365} $$
Eine Kosinusfunktion ohne Verschiebung hat ein Maximum bei $t = 0$. $P(t)$ hat ein Maximum bei $t = 172$. Wir können $P(t)$ durch eine Kosinusfunktion modellieren, die um 172 Einheiten nach rechts verschoben ist:
$$ P(t) = 8 \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right) + 12 $$
Überprüfung, ob $P(t)$ bei $t = 172$ maximal ist:
$$ P(172) = 8 \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(172 - 172)\right) + 12 = 8 \cos(0) + 12 = 20 $$
-
Der Graph von $P(t)$ ist unten dargestellt.
-
Es besteht eine Differenz von einer halben Periode zwischen dem Maximum bei $t = 172$ und dem darauf folgenden Minimum. Daher ist $P(t)$ minimal bei
$$ t = 172 + 0,5(365) = 354,5 $$
Die ersten 11 Monate haben zusammen 334 Tage. Daher entspricht 354,5 dem 21. Dezember, dem Tag, an dem $P(t)$ minimal ist.
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Um die Anzahl der Tage zu finden, an denen die erzeugte Leistung ausreichend ist, müssen wir $t_1$ und $t_2$ finden, die den Schnittpunkten von $P(t)$ und $y = 16$ entsprechen (siehe Graph), indem wir die Gleichung lösen:
$$ P(t) = 16 $$
$$ 8 \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right) + 12 = 16 $$
$$ \cos\left(\dfrac{2\pi}{365}(t - 172)\right) = \dfrac{1}{2} $$
$$ t = 172 + \dfrac{365}{2\pi} \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = 232,8 $$
Die oben gefundene Lösung ist größer als 172, was dem Maximum entspricht. Daher entspricht diese Lösung $t_2$ im Graphen (die rechte Lösung). Die linke Lösung finden wir durch Symmetrie:
$$ t_1 = 172 - (232,8 - 172) = 111,2 $$
$$ t_2 - t_1 = 232,8 - 111,2 = 121,6 \text{ Tage} $$
Das System erzeugt für etwa 121 Tage ausreichend Strom.