Schnittpunkt von Parabel und Gerade
In dieser Algebra-Aufgabe untersuchen wir den Schnittpunkt einer Parabel und einer Geraden anhand ihrer Graphen. Aufgaben dieser Art sind in der Algebra und der Analysis-Vorbereitung weit verbreitet, da sie Konzepte von quadratischen Funktionen, linearen Funktionen und Ungleichungen miteinander verbinden.
Inhaltsverzeichnis
Aufgabenstellung
Die Graphen einer Parabel gegeben durch \( y = f(x) \) und einer Geraden gegeben durch \( y = g(x) \) sind unten dargestellt. Die Parabel und die Gerade schneiden sich in den Punkten \( A \) und \( D \); wobei \( A \) auf der x-Achse liegt und eine x-Koordinate von \( 2 \) besitzt. Punkt \( V \) ist der Scheitelpunkt der Parabel.
Basierend auf den angegebenen Graphkoordinaten verläuft die Gerade auch durch \( C(-3, -5) \), und der Scheitelpunkt liegt bei \( V(4, -4) \).
- Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden \( g \) und schreiben Sie diese in der Form \( g(x) = mx + b \).
- Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel \( f(x) \).
- Bestimmen Sie die x-Koordinate des Punktes \( D \).
- Verwenden Sie den Graph und die Gleichungen, um die Ungleichung \( f(x) \gt g(x) \) zu lösen.
Schritt-für-Schritt-Lösung
Vollständige Lösung anzeigen
Teil (a): Gleichung der Geraden \( g \)
Die Gerade \( y = g(x) \) verläuft durch die Punkte \( C(-3, -5) \) und \( A(2, 0) \).
Zuerst berechnen wir die Steigung \( m \):
\[ m = \frac{0 - (-5)}{2 - (-3)} = \frac{5}{5} = 1 \]Als Nächstes verwenden wir die Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung:
\[ y - 0 = 1(x - 2) \]Was sich vereinfacht zu:
\[ y = x - 2 \]Somit lautet die Gleichung der Geraden:
Teil (b): Gleichung der Parabel \( f \)
Der Scheitelpunkt der Parabel ist bekanntlich \( V(4, -4) \). Die Scheitelpunktform der Parabelgleichung lautet:
\[ y = a(x - h)^2 + k \implies y = a(x - 4)^2 - 4 \]Punkt \( A(2, 0) \) liegt auf der Parabel. Setzen Sie \( x = 2 \) und \( y = 0 \) in die Gleichung ein, um \( a \) zu bestimmen:
\[ 0 = a(2 - 4)^2 - 4 \] \[ 0 = a(-2)^2 - 4 \] \[ 0 = 4a - 4 \implies 4a = 4 \implies a = 1 \]Somit lautet die Gleichung der Parabel:
Hinweis: Das Ausmultiplizieren ergibt \( f(x) = x^2 - 8x + 12 \).
Teil (c): Die x-Koordinate des Punktes \( D \)
Die Schnittpunkte werden bestimmt, indem \( f(x) \) gleich \( g(x) \) gesetzt wird:
\[ (x - 4)^2 - 4 = x - 2 \]Formen Sie die Gleichung um und vereinfachen Sie:
\[ x^2 - 8x + 16 - 4 = x - 2 \] \[ x^2 - 8x + 12 = x - 2 \] \[ x^2 - 9x + 14 = 0 \]Faktorisieren Sie die quadratische Gleichung:
\[ (x - 2)(x - 7) = 0 \]Dies liefert die Lösungen \( x = 2 \) und \( x = 7 \).
Da \( x = 2 \) bereits als x-Koordinate des Punktes \( A \) bekannt ist, folgt, dass \( x = 7 \) die x-Koordinate des Punktes \( D \) ist.
Hinweis: Die y-Koordinate von \( D \) ergibt sich durch \( g(7) = 7 - 2 = 5 \).
Teil (d): Lösen der Ungleichung \( f(x) \gt g(x) \)
Geometrisch gilt \( f(x) \gt g(x) \) in den Bereichen, in denen die Parabel oberhalb der Geraden liegt.
- Vom linken Rand des Graphen bis zum Punkt \( A \) (wo \( x = 2 \)) liegt die Parabel oberhalb der Geraden, sodass das Intervall \( (-\infty, 2) \) Teil der Lösungsmenge ist.
- Ebenso liegt die Parabel vom Punkt \( D \) (wo \( x = 7 \)) bis zum rechten Rand des Graphen wieder oberhalb der Geraden, was das Intervall \( (7, +\infty) \) liefert.
Daher ist die vollständige Lösungsmenge für die Ungleichung \( f(x) \gt g(x) \) durch die Vereinigung dieser Intervalle gegeben:
Überprüfung der Lösung
Prüfung 1 — Beide Schnittpunkte erfüllen beide Gleichungen:
- Bei \( x = 2 \): \( f(2) = (2-4)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \); \( g(2) = 2 - 2 = 0 \). ✓
- Bei \( x = 7 \): \( f(7) = (7-4)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \); \( g(7) = 7 - 2 = 5 \). ✓
Prüfung 2 — Der Scheitelpunkt \( V(4, -4) \) liegt tatsächlich auf der Parabel:
\( f(4) = (4-4)^2 - 4 = 0 - 4 = -4 \). ✓
Prüfung 3 — Die Ungleichung gilt für einen Testpunkt:
Wählen wir \( x = 0 \) (was im Intervall \( (-\infty, 2) \) liegt):
\( f(0) = (0-4)^2 - 4 = 16 - 4 = 12 \) und \( g(0) = 0 - 2 = -2 \). Da \( 12 \gt -2 \), gilt die Ungleichung. ✓
Wählen wir \( x = 5 \) (was zwischen 2 und 7 liegt, also KEINE Lösung sein sollte):
\( f(5) = (5-4)^2 - 4 = 1 - 4 = -3 \) und \( g(5) = 5 - 2 = 3 \). Da \( -3 \lt 3 \), gilt die Ungleichung HIER NICHT. ✓
Zusammenfassung der Ergebnisse
| Element | Ergebnis |
|---|---|
| Geradengleichung \( g(x) \) | \( g(x) = x - 2 \) |
| Parabelgleichung \( f(x) \) | \( f(x) = (x-4)^2 - 4 = x^2 - 8x + 12 \) |
| Scheitelpunkt der Parabel | \( V(4, -4) \) |
| Schnittpunkt A | \( A(2, 0) \) |
| Schnittpunkt D | \( D(7, 5) \) |
| Lösung zu \( f(x) \gt g(x) \) | \( (-\infty, 2) \cup (7, +\infty) \) |
Wichtige behandelte Konzepte
In dieser Aufgabe geübte Fähigkeiten
- Steigung einer Geraden: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) — verwendet zur Berechnung der Steigung der Geraden durch zwei Punkte.
- Punkt-Steigungs-Form: \( y - y_1 = m(x - x_1) \) — verwendet zum Aufstellen der Geradengleichung.
- Scheitelpunktform einer Parabel: \( y = a(x-h)^2 + k \) — verwendet zum Aufstellen der Parabelgleichung bei gegebenem Scheitelpunkt.
- Lösen nach einem Parameter: Einsetzen eines bekannten Punktes in die Scheitelpunktform zur Bestimmung von \( a \).
- Lösen von Gleichungssystemen: Gleichsetzen von \( f(x) = g(x) \) und Lösen der resultierenden quadratischen Gleichung.
- Faktorisieren quadratischer Gleichungen: \( x^2 - 9x + 14 = (x-2)(x-7) \).
- Quadratische Ungleichungen: Ablesen der Lösung aus dem Graph und algebraische Überprüfung.
- Intervallschreibweise: \( (-\infty, 2) \cup (7, +\infty) \).
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Wie findet man die Gleichung einer Parabel, wenn der Scheitelpunkt und ein Punkt gegeben sind?
Verwenden Sie die Scheitelpunktform \( y = a(x - h)^2 + k \), wobei \( (h, k) \) der Scheitelpunkt ist. Setzen Sie die Koordinaten des bekannten Punktes in die Gleichung ein, um nach \( a \) aufzulösen. Zum Beispiel ergibt sich mit Scheitelpunkt \( (4, -4) \) und Punkt \( (2, 0) \) aus \( 0 = a(2-4)^2 - 4 \) der Wert \( a = 1 \).
Wie bestimmt man die Schnittpunkte einer Parabel und einer Geraden?
Setzen Sie die Parabelgleichung gleich der Geradengleichung und lösen Sie die resultierende quadratische Gleichung. Beispielsweise vereinfacht sich \( (x-4)^2 - 4 = x - 2 \) zu \( x^2 - 9x + 14 = 0 \), was sich als \( (x-2)(x-7) = 0 \) faktorisieren lässt und die Schnittpunkt-x-Koordinaten 2 und 7 ergibt.
Wie löst man die Ungleichung \( f(x) \gt g(x) \) grafisch?
Identifizieren Sie die x-Werte, bei denen der Graph von \( f(x) \) oberhalb des Graphen von \( g(x) \) liegt. Für eine nach oben öffnende Parabel, die von einer Geraden bei \( x = 2 \) und \( x = 7 \) geschnitten wird, liegt die Parabel für \( x \lt 2 \) und \( x \gt 7 \) oberhalb der Geraden, sodass die Lösungsmenge \( (-\infty, 2) \cup (7, +\infty) \) lautet.
Was ist die Scheitelpunktform einer Parabel?
Die Scheitelpunktform einer Parabel lautet \( y = a(x - h)^2 + k \), wobei \( (h, k) \) der Scheitelpunkt ist. Der Parameter \( a \) bestimmt die Öffnungsrichtung und Weite der Parabel: Ist \( a \gt 0 \), öffnet sie nach oben; ist \( a \lt 0 \), öffnet sie nach unten.
Wie bestimmt man, ob eine Parabel nach oben oder unten öffnet?
Das Vorzeichen des führenden Koeffizienten \( a \) bestimmt die Richtung. Ist \( a \gt 0 \), öffnet die Parabel nach oben. Ist \( a \lt 0 \), öffnet die Parabel nach unten. In dieser Aufgabe ist \( a = 1 \), daher öffnet die Parabel nach oben.