Lösungen zu Algebrafragen und -problemen für die 6. Klasse

Detaillierte Lösungen zu Algebrafragen und -problemen für die 6. Klasse werden mit Erklärungen präsentiert.

Lösungen

  1. Gleiche Terme haben dieselbe Variable mit gleichen Exponenten. Auch alle Zahlen sind gleiche Terme.

    A) Die Terme \(6x\) und \(12x\) haben dieselbe Variable \(x\) mit Exponenten gleich 1 und sind daher gleiche Terme.

    Die Terme \(5\) und \(-6\) sind Zahlen und daher gleiche Terme.

    B) Die Terme \(2x^2\) und \(9x^2\) haben dieselbe Variable \(x\) mit Exponenten gleich 2, sie sind gleiche Terme.

    Die Terme \(-4\) und \(+9\) sind Zahlen und daher gleiche Terme.

    C) Die Terme \(\frac{x}{5}\) und \(\frac{x}{7}\) haben dieselbe Variable mit Exponenten gleich 1, sie sind gleiche Terme.

    D) Die Terme \(0.2x\), \(1.2x\) und \(\frac{x}{2}\) haben dieselbe Variable \(x\) mit Exponenten gleich 1; sie sind gleiche Terme.

    E) Die Terme \(5x\) und \(7x\) sind gleiche Terme.
    Die Terme \(-8\) und \(-4\) sind gleiche Terme.
    Die Terme \(-2x^2\) und \(+9x^2\) sind gleiche Terme.

    F) Es gibt keine gleichen Terme in diesem Ausdruck.

    G) Die Terme \(5ab\) und \(6ba\) sind gleiche Terme.

  2. Ersetze \(x\) durch den gegebenen numerischen Wert und vereinfache.

    A) \(6(2) + 5 = 12 + 5 = 17\)

    B) \(12(1)^2 + 5(1) - 2 = 12(1) + 5 - 2 = 12 + 5 - 2 = 15\)

    C) \(2(0 + 7) + 0 = 2(7) = 14\)

    D) \(2(2) + 3(4) - 7 = 4 + 12 - 7 = 9\)

  3. Hinweise:
    1. Wir können gleiche Terme addieren oder subtrahieren wie folgt: \[2x + 6x = (2 + 6)x\] durch Faktorisieren zuerst \[= 8x\] Vereinfachen der Terme in Klammern.
    2. Wir verwenden das Distributivgesetz, um einen Ausdruck wie folgt zu erweitern: \(a(b + c) = ab + ac\)

    A) \(3x + 5x\)

    \(= (3 + 5)x\), Faktor \(x\) ausklammern

    \(= 8x\), vereinfachen

    B) \(2(x + 7) + x\)

    \(= 2(x) + 2(7) + x = 2x + 14 + x\), erweitern und vereinfachen

    \(= (2x + x) + 14\), gleiche Terme gruppieren

    \(= (2 + 1)x + 14 = 3x + 14\), vereinfachen

    C) \(2(x + 3) + 3(x + 5) + 3\)

    \(= 2(x) + 2(3) + 3(x) + 3(5) + 3 = 2x + 6 + 3x + 15 + 3\), erweitern und vereinfachen

    \(= (2x + 3x) + (6 + 15 + 3)\), gleiche Terme gruppieren

    \(= (2 + 3)x + 24 = 5x + 24\), vereinfachen

    D) \(2(a + 1) + 5b + 3(a + b) + 3\)

    \(= 2(a) + 2(1) + 5b + 3(a) + 3(b) + 3 = 2a + 2 + 5b + 3a + 3b + 3\), erweitern und vereinfachen

    \(= (2a + 3a) + (5b + 3b) + (2 + 3)\), gleiche Terme gruppieren

    \(= (2 + 3)a + (5 + 3)b + 5 = 5a + 8b + 5\), vereinfachen

  4. Hinweise:
    1. Einen Ausdruck zu faktorisieren bedeutet, ihn als Produkt zu schreiben.
    2. Das Distributivgesetz kann verwendet werden, um einen algebraischen Ausdruck zu erweitern: \(a(x + y) = ax + ay\)
    3. Dasselbe Distributivgesetz kann als: \(\color{red}{a}x + \color{red}{a}y = \color{red}{a}(x + y)\) verwendet werden, um einen Ausdruck zu faktorisieren, wobei \(\color{red}{a}\) der gemeinsame Faktor genannt wird.

    A) \(3x + 3\)

    \(= 3(x) + 3(1)\), 3 ist ein gemeinsamer Faktor

    \(= 3(x + 1)\), faktorisierte Form

    B) \(8x + 4\)

    \(= 4(2)(x) + 4\), schreibe 8 als 4(2)

    \(= 4(2x) + 4(1)\), 4 ist ein gemeinsamer Faktor

    \(= 4(2x + 1)\), faktorisierte Form

    C) \(ax + 3a\), a ist ein gemeinsamer Faktor

    \(= a(x + 3)\), faktorisierte Form

    D) \((x + 1)y + 4(x + 1)\)

    \(= (x + 1)(y) + (x + 1)(4)\), x + 1 ist ein gemeinsamer Faktor

    \(= (x + 1)(y + 4)\), faktorisierte Form

    E) \(x + 2 + bx + 2b\)

    \(= (x + 2) + b(x + 2)\), Faktor b in bx + 2b ausklammern

    \(= (x + 2)(1) + (x + 2)b\), x + 2 ist jetzt ein gemeinsamer Faktor

    \(= (x + 2)(1 + b)\), faktorisierte Form

    Um die Faktorisierung zu überprüfen, erweitere die faktorisierte Form, vereinfache und stelle sicher, dass sie äquivalent zum gegebenen Ausdruck ist.

  5. A) \(x + 5 = 8\)

    \(x + 5 - 5 = 8 - 5\), subtrahiere 5 von beiden Seiten der Gleichung

    \(x = 3\), vereinfache und löse nach x auf

    Ersetze \(x\) durch 3 (oben gefundene Lösung) auf beiden Seiten der gegebenen Gleichung:

    Rechte Seite: \(3 + 5 = 8\)

    Linke Seite = \(8\)

    \(x = 3\) ist die Lösung der gegebenen Gleichung.

    B) \(2x = 4\)

    \(\frac{2x}{2} = \frac{4}{2}\), teile beide Seiten durch 2

    \(x = 2\), vereinfache und löse nach x auf

    Ersetze \(x\) durch 2 (oben gefundene Lösung) auf beiden Seiten der gegebenen Gleichung:

    Rechte Seite: \(2(2) = 4\)

    Linke Seite = \(4\)

    \(x = 2\) ist die Lösung der gegebenen Gleichung.

    C) \(\frac{x}{3} = 2\)

    \(3(\frac{x}{3}) = 3(2)\), multipliziere beide Seiten mit 3

    \(x = 6\), vereinfache und löse nach x auf

    Ersetze \(x\) durch 6 (oben gefundene Lösung) auf beiden Seiten der gegebenen Gleichung:

    Rechte Seite: \(\frac{6}{3} = 2\)

    Linke Seite = \(2\)

    \(x = 6\) ist die Lösung der gegebenen Gleichung.

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