Probleme der 8. Klasse zu Kreisen und Lösungen

Der Durchmesser von Kreis \( C_1 \) beträgt 20 Einheiten, sein Radius ist also 10 Einheiten. Die Fläche \( A \) des größten Kreises \( C_1 \) ist: \[ A = \pi (10)^2 \] Der Durchmesser von Kreis \( C_2 \) ist gleich dem Radius von Kreis \( C_1 \), also 10 Einheiten. Der Durchmesser von Kreis \( C_3 \) ist gleich dem Radius von Kreis \( C_2 \), also 5 Einheiten. Daher beträgt der Radius von Kreis \( C_3 \) 2,5 Einheiten. Wir berechnen nun die Fläche \( B \) des kleinsten Kreises \( C_3 \): \[ B = \pi (2,5)^2 \] Das Verhältnis von \( A \) zu \( B \) ist gegeben durch: \[ \dfrac{A}{B} = \dfrac{\pi (10)^2}{\pi (2,5)^2} \] Vereinfacht: \[ = \dfrac{(10)^2}{(2,5)^2} = \left(\dfrac{10}{2,5}\right)^2 = 4^2 = 16 \]

Der Garten besteht aus 4 Quadraten und 2 Halbkreisen. Die Gesamtfläche der 4 Quadrate beträgt: \[ 4 \times 4 = 16 \text{ Quadratmeter} \] Da die Fläche eines kleinen Quadrats 4 Quadratmeter beträgt, ist die Seitenlänge \( s \) jedes Quadrats mit seiner Fläche verbunden durch: \[ s^2 = 4 \] Somit \[ s = \sqrt{4} = 2 \text{ Meter} \] Der Radius jedes Halbkreises ist gleich der Seite des Quadrats, der Radius beträgt also \( 2 \) Meter. Die beiden Halbkreise bilden zusammen einen vollständigen Kreis. Die Fläche des Kreises ist: \[ \pi \times 2^2 = 4\pi \] Die Gesamtfläche des Gartens beträgt also: \[ 16 + 4\pi \approx 16 + 12,56 = 28,56 \text{ Quadratmeter} \quad (\text{mit } \pi \approx 3,14) \]

Eine vollständige Drehung des Regners würde eine Fläche bewässern, die von einem Kreis mit einem Radius von 12 m eingeschlossen wird. Daher wird die Fläche des Gartens, die der Regner bewässern kann, durch die Formel angegeben: \[ A = \pi r^2 = \pi (12)^2 = 144\pi \approx 452 \text{ Quadratmeter} \]

Der Gehweg wird zwischen einem kleineren Kreis mit Radius \( 10 \) Metern und einem größeren Kreis mit Radius \( 10+1 = 11 \) Metern eingeschlossen. Daher ist die Fläche des Gehwegs gleich der vom größeren Kreis eingeschlossenen Fläche minus der vom kleineren Kreis eingeschlossenen Fläche. \[ \text{Fläche des Gehwegs} = \pi \times 11^2 - \pi \times 10^2 = 121\pi - 100\pi = 21\pi \text{ Quadratmeter.} \]

Die \$19,99 sind die Gesamtkosten der gesamten Pizza, deren Fläche ist: \[ \pi \times \left(\dfrac{36}{2}\right)^2 = 1017,87 \, \text{Quadratzentimeter} \] Die Kosten für 1 Quadratzentimeter entsprechen: \[ \dfrac{19,99}{1017,87} \approx 0,02 \, \text{Dollar} = 2 \, \text{Cents pro Quadratzentimeter} \]

Der Zaun wird um das runde Blumenbeet gesetzt, und daher entspricht die Länge des Zauns seinem Umfang. Der Radius \( r \) des Beetes wird mit der Flächenformel ermittelt: \[ \pi \times r^2 = 5 \] Auflösen nach \( r^2 \): \[ r^2 = \dfrac{5}{\pi} \] Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten: \[ r = \sqrt{\dfrac{5}{\pi}} \approx 1,26 \text{ Meter} \] Der Umfang des Beetes beträgt: \[ 2r \times \pi = 2 \times 1,26 \times \pi \approx 8 \text{ Meter} \quad (\text{gerundet auf den nächsten Meter}) \] Die Länge des benötigten Zauns beträgt 8 Meter.

Wenn \( r \) der Radius der Scheibe ist, ist ihre Fläche (vor der Vergrößerung) gegeben durch: \[ A_{\text{vorher}} = \pi r^2 \] Wenn der Radius um 20% vergrößert wird, wird der neue Radius: \[ r_{\text{neu}} = r + 20\% \, r = r + \dfrac{20}{100} r = 1,2 r \] Die Fläche (nach der Vergrößerung) der Scheibe wird: \[ A_{\text{nachher}} = \pi (1,2r)^2 = 1,44 \pi r^2 \] Die Flächenänderung beträgt: \[ \text{Flächenänderung} = A_{\text{nachher}} - A_{\text{vorher}} = 1,44 \pi r^2 - \pi r^2 \] \[ = \pi r^2 (1,44 - 1) = 0,44 \pi r^2 \] Die prozentuale Flächenänderung beträgt: \[ \text{Prozentuale Flächenänderung} = \left( \dfrac{\text{Änderung}}{A_{\text{vorher}}} \right) \times 100\% = \left( \dfrac{0,44 \pi r^2}{\pi r^2} \right) \times 100\% \] \[ = 0,44 \times 100\% = 44\% \]

Wenn der Tisch einen Durchmesser von 100 Zoll hat und die Tischdecke den Tisch um 15 Zoll überhängt, dann ist der Durchmesser der Tischdecke gleich: \[ 100 + 15 + 15 = 130 \text{ Zoll} \] und ihr Radius \( r \) ist: \[ r = \dfrac{130}{2} = 65 \] Die Fläche der Tischdecke ist gleich: \[ A = \pi r^2 = \pi \left( 65 \right)^2 \] \[ = 4225 \pi \approx 13.267 \text{ Quadratzoll} \]

\[ \text{Fläche des Kreises} = \pi r^2 = 100 \] Auflösen nach \( r^2 \): \[ r^2 = \dfrac{100}{\pi} \] Als nächstes verwenden wir den Satz des Pythagoras im Dreieck \( ABC \), um die Länge von \( AC \) zu finden: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] Da sowohl \( AB \) als auch \( BC \) gleich \( r \) sind, haben wir: \[ AC^2 = r^2 + r^2 = 2r^2 \] Einsetzen des Wertes von \( r^2 \): \[ AC^2 = 2 r^2 = 2 \left( \dfrac{100}{\pi} \right) = \dfrac{200}{\pi} \] Schließlich Ziehen der Quadratwurzel: \[ AC = \sqrt{\dfrac{200}{\pi}} = 10 \sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \approx 8 \text{ cm} \]

Sei \(R_A\) der Radius von Kreis \(A\) und \(R_B\) der Radius von Kreis \(B\). Die Umfänge \(P_A \) und \( P_B \) der Kreise \( A \) und \( B\) sind gegeben durch: \[ P_A = 2 \pi R_A \quad \text{und} \quad P_B = 2 \pi R_B \] Das Verhältnis der Umfänge von Kreis \(A\) zum Umfang von Kreis \(B\) ergibt: \[ \dfrac{P_A}{P_B} = \dfrac{2 \pi R_A}{ 2 \pi R_B} = \dfrac{3}{1} = \dfrac{R_A}{R_B} \] was vereinfacht wird zu: \[ R_A = 3 R_B \] Nun drücken wir die Flächen \(A_A\) und \(A_B\) der beiden Kreise aus: \[ A_A = \pi R_A^2 = \pi (3 R_B)^2 \] \[ A_B = \pi R_B^2 \] Das Verhältnis der Flächen ist gegeben durch: \[ \dfrac{A_A}{A_B} = \dfrac{\pi (3 R_B)^2}{\pi R_B^2} \] \[ = \dfrac{\pi 9 R_B^2}{\pi R_B^2} \] \[ = 9 \] Somit beträgt das Verhältnis der Flächen \(9:1\).

Sei \( O \) der Mittelpunkt des Kreises.

Sei \( P \) der Punkt, an dem die Senkrechte vom Mittelpunkt \( O \) auf die Sehne \( AB \) trifft, und sei \( AB \) die Sehne, die wir finden müssen.

\( OP = 6 \) Einheiten (Abstand vom Mittelpunkt zur Sehne).

Nach dem Satz über die Halbierung von Sehnen halbiert die Senkrechte die Sehne, also haben wir zwei rechtwinklige Dreiecke: \( \triangle OAP \) und \( \triangle OBP \), die beide kongruent sind.

\( OA = OB = 10 \) Einheiten (Radius des Kreises).

Hier ist das Diagramm für das Problem.

Mit dem Satz des Pythagoras in \( \triangle OAP \): \[ OA^2 = OP^2 + AP^2 \] Einsetzen der bekannten Werte: \[ 10^2 = 6^2 + AP^2 \] \[ 100 = 36 + AP^2 \] \[ AP^2 = 100 - 36 = 64 \] \[ AP = \sqrt{64} = 8 \] Da \( P \) der Mittelpunkt von \( AB \) ist, ist die Länge der gesamten Sehne \( AB \) das Doppelte der Länge von \( AP \): \[ AB = 2 \times AP = 2 \times 8 = 16 \] Die Länge der Sehne \( AB \) beträgt 16 Einheiten.