Addition und Subtraktion von Polynomen - Klasse 9

Beispiele für die 9. Klasse zur Addition und Subtraktion von Polynomen werden zusammen mit ihren detaillierten Lösungen präsentiert. Weitere Fragen und ihre Lösungen sowie ausführliche Erklärungen sind enthalten.

Beispiele für Polynome

Ein Polynom ist die Summe mehrerer Monomien.

Beispiel 1

Dies sind Beispiele für Polynome \[ \quad x^2 + 3x -9 , \quad -4x^5 - 8 x^3 + 3x - 7 , \quad -\dfrac{1}{3} x^3 - 2 x^2 - 5 x + 1 , \quad x^2 + 2xy + y^2\] Um Polynome zu addieren und zu subtrahieren, müssen Sie wissen, wie

1) Klammern von Polynomen mithilfe des Distributivgesetzes entfernt werden: \( \quad a(b+c) = ab + ac \quad \), was eine der grundlegenden Regeln der Algebra ist.
2) und wie man gleichartige Terme addiert.
Beide Techniken werden unten erklärt.

Vorzeichen vor Klammern in Polynomen verteilen, um Klammern zu entfernen

Im Folgenden verwenden wir Klammern, um eine Multiplikation anzuzeigen.

Zum Beispiel kann \( x \times y \quad \) geschrieben werden als \( \quad (x)(y) \quad \) oder \( \quad x(y) \quad \).

1) Polynom in Klammern, denen kein Zeichen oder ein Pluszeichen vorangestellt ist, wie \((2 x - 5)\) oder \( +(2 x - 5) \quad \) sind dasselbe wie \( +1(2x - 5) \).

Verwenden Sie das Distributivgesetz: \( a(b+c) = ab + ac \quad \) um zu erweitern und damit Klammern wie folgt zu entfernen \[ \quad \quad (2 x - 5) = \color{red}{+1}(2x - 5) = \color{red}{+1}(2x) \color{red}{+1}(- 5) = (1)(2)x +(1)(-5) = 2 x - 5 \]


2) Polynom in Klammern, denen ein Minuszeichen vorangestellt ist, wie \[ - (2 x - 5) \quad \text{ist äquivalent zu} -1(2x - 5) \] Verwenden Sie das Distributivgesetz: \( a(b+c) = ab + ac \quad \) um zu erweitern und damit Klammern wie folgt zu entfernen \[ \quad \quad - (2 x - 5) = \color{red}{-1}(2x - 5) = \color{red}-1(2x) \color{red}-1(- 5) = (-1)(2)x +(-1)(-5) = - 2 x + 5 \]

Gleichartige Terme addieren und subtrahieren mit Beispielen

Beispiele für Monome mit gleichartigen Termen
\( - x^2 , - 6 x^2 , - x^2 \quad \) sind alles Monome mit gleichartigen Termen \( x^2 \) und können addiert werden.
\( -2 y^2 x^2 , y^2 x^2 , - 2 x^2 y^2 \quad \) sind alles Monome mit gleichartigen Termen \( x^2 y^2 \) und können addiert werden.
BEACHTEN SIE, dass die Terme \( x^2 y^2 \) und \( y^2 x^2 \) im obigen Beispiel äquivalent sind


Beispiel 2

Addieren/Subtrahieren Sie die gleichartigen Terme
a) \( 6x + 4x -5x \quad \) b) \( -x^2 + 5x^2 - 2x^2 \quad \) c) \( xy - 2xy+3yx \)

Lösung zu Beispiel 2

a)
\[ \begin{split} 6x + 4x -5x & = \color{red}{6}x + \color{red}{4}x \color{red}{- 5}x \quad \text{Koeffizienten identifizieren} \\\\ & = \color{red}{(6 + 4 - 5)} x \quad \text{Variable ausklammern und Koeffizienten in Klammern setzen} \\\\ & = \color{red}{5} x \quad \text{Koeffizienten addieren/subtrahieren} \end{split} \]
b)
\[ \begin{split} -x^2 + 5x^2 - 2x^2 &= \color{red}{-1}x^2 + \color{red}{5}x^2 \color{red}{-2}x^2 \quad \text{Koeffizienten identifizieren} \\\\ & = \color{red}{(-1 + 5 - 2)} x^2 \quad \text{Variable ausklammern und Koeffizienten in Klammern setzen} \\\\ & = \color{red}{2} x^2 \quad \text{Koeffizienten addieren/subtrahieren} \end{split} \]
c)
\[ \begin{split} xy - 2xy+3xy &= \color{red}{1}x y \color{red}{-2}y x \color{red}{+3}yx \quad \text{Koeffizienten identifizieren (BEACHTE: \( x y = y x) \) } \\\\ & = \color{red}{(1 - 2 + 3)} x y \quad \text{Koeffizienten identifizieren, Variablen ausklammern und Koeffizienten in Klammern setzen} \\\\ & = \color{red}{2} xy \quad \text{Koeffizienten addieren/subtrahieren} \end{split} \]

Polynome addieren und subtrahieren mit Beispielen

Um Polynome zu addieren und/oder zu subtrahieren, addieren wir die Monome mit gleichartigen Termen, die in den zu addierenden und/oder subtrahierenden Polynomen enthalten sind.

Beispiel 3

Addieren und/oder subtrahieren Sie die folgenden Polynome
  1. \((2 x^2 + 4 x) + (4x^2 + 3x + 2) \quad \)
  2. \( (3 x^3 - x^2 - 4) - ( 4 x^3 + x^2 - 5) \quad \)
  3. \( - (6 x^2 y - 5 x y) + ( - 5 x y + y x^2) \)
  4. \( (x^2 + 2x - 5 ) - ( -3x^2 + \dfrac{2}{3} x - 3) \)

Lösung zu Beispiel 3


  1. \[ \begin{split} (2 x^2 + 4 x) + (4x^2 + 3x + 2) & = \color{red}{+1} \color{green}{( 2 x^2 + 4 x )} \color{red}{+1} \color{blue}{(4x^2 + 3x + 2)} \quad \text{Vorzeichen vor Klammern identifizieren }\\\\ & = \color{red}{+1}\color{green}{(2 x^2)} \color{red}{+1}\color{green}{(4 x)} \color{red}{+1}\color{blue}{(4 x^2)} \color{red}{+1}\color{blue}{(3 x)} \color{red}{+1}\color{blue}{(2)} \quad \text{+1 verteilen und Klammern entfernen }\\\\ & = \color{green}{ 2 x^2 + 4 x } + \color{blue}{4x^2 + 3x + 2} \quad \text{Multiplizieren und vereinfachen }\\\\ & = (\color{green}{2x^2} + \color{blue}{4x^2}) + (\color{green}{4x} + \color{blue}{3x}) + \color{blue}{2} \quad \text{gleichartige Terme in Klammern gruppieren}\\\\ & = 6x^2 + 7x + 2 \quad \text{gleichartige Terme in Klammern addieren und vereinfachen} \\\\ \end{split} \]

  2. \[ \begin{split} (3 x^3 - x^2 - 4) - (4 x^3 + x^2 - 5) & = \color{red}{+1} \color{green}{( 3 x^3 - x^2 - 4)} \color{red}{-1} \color{blue}{(4 x^3 + x^2 - 5)} \quad \text{Vorzeichen vor Klammern identifizieren }\\\\ & = \color{red}{+1}\color{green}{(3 x^3)} \color{red}{+1}\color{green}{(-x^2)} \color{red}{+1}\color{green}{(-4)} \color{red}{-1}\color{blue}{(4x^3)} \color{red}{-1}\color{blue}{(x^2)} \color{red}{-1}\color{blue}{(-5)} \quad \text{+1 und -1 verteilen und Klammern entfernen .}\\\\ & = \color{green}{ 3 x^3 - x^2 - 4} \color{blue}{-4 x^3 - x^2 + 5} \quad \text{Multiplizieren und vereinfachen.}\\\\ & = (\color{green}{3x^3} \color{blue}{- 4x^3}) + (\color{green}{-x^2} \color{blue}{- x^2}) + (\color{green}{-4} \color{blue}{+ 5}) \quad \text{gleichartige Terme in Klammern gruppieren} \\\\ & = -x^3 - 2x^2 + 1 \quad \text{gleichartige Terme in Klammern addieren/subtrahieren und vereinfachen} \\\\ \end{split} \]

  3. \[ \begin{split} - (6 x^2 y - 5 x y) + ( - 5 x y + y x^2) & = \color{red}{-1} \color{green}{( 6 x^2 y - 5 x y)} \color{red}{+1} \color{blue}{(- 5 x y + y x^2)} \quad \text{Vorzeichen vor Klammern identifizieren }\\\\ & = \color{green}{ - 6 x^2 y + 5 x y} \color{blue}{- 5 x y + y x^2} \quad \text{-1 und +1 verteilen, Klammern entfernen und vereinfachen.}\\\\ & = (\color{green}{- 6 x^2 y} \color{blue}{+ y x^2}) + (\color{green}{5xy} \color{blue}{-5xy}) \quad \text{gleichartige Terme in Klammern gruppieren} \\\\ & = - 5 x^2 y \quad \text{gleichartige Terme in Klammern addieren/subtrahieren und vereinfachen} \\\\ \end{split} \]

  4. \[ \begin{split} (x^2 + 2x - 5) - (-3x^2 + \dfrac{2}{3} x - 3) & = \color{red}{+1} \color{green}{( x^2 + 2x - 5)} \color{red}{-1} \color{blue}{(-3x^2 + \dfrac{2}{3} x - 3)} \quad \text{Vorzeichen vor Klammern identifizieren }\\\\ & = \color{green}{ x^2 + 2x - 5} \color{blue}{+3x^2 - \dfrac{2}{3} x + 3} \quad \text{+1 und -1 verteilen, Klammern entfernen und vereinfachen.}\\\\ & = (\color{green}{ x^2 } \color{blue}{+3 x^2}) + (\color{green}{2x} \color{blue}{-\dfrac{2}{3} x}) + (- \color{green}{5} \color{blue}{+3}) \quad \text{gleichartige Terme in Klammern gruppieren} \\\\ & = ( \color{green}{1} \color{blue}{+ 3} ) x^2 + (\color{green}{2}\color{blue}{-\dfrac{2}{3} }) x + (\color{green}{-5} + \color{blue}{3}) \quad \text{Variablen ausklammern, um Addition/Subtraktion von Brüchen zu erleichtern. }\\\\ & = 4 x^2 + \dfrac{4}{3} x - 2 \quad \text{Terme in Klammern addieren/subtrahieren und vereinfachen} \\\\ \end{split} \]

Fragen

Die Lösungen und ausführlichen Erklärungen zu den folgenden Fragen sind enthalten.

  1. Addieren und subtrahieren Sie die gleichartigen Terme.
    1. ) \( 2x - 2x + 9x \)
    2. ) \( -x^2 + 3x^2 + x^2 \)
    3. ) \( -x y + \dfrac{2}{3} x y + \dfrac{1}{2}x y\)
    4. ) \( 0.2 x^3 + 2 x^3 - 0.5 x^3 \)
    5. ) \( x -0.3 x - \dfrac{1}{5}x \)

  2. Addieren und subtrahieren Sie die folgenden Polynome.
    1. ) \( (2x^2 - 2x + 1) + (x + 5) \)
    2. ) \( (- 4x^3 - 2x + 1) - ( - x^3 - 5 x) \)
    3. ) \( - (2x^3 - 2x^2 + 1) + ( - x^3 - 5 x^2) \)
    4. ) \( - ( - x^4 y - 2 x^2 - 9 ) - ( - y x^4 - 5 x^2 + 1) \)
    5. ) \( ( - x^2 - 2 x ) - ( - x^2 - 5 x + 3) + ( x^2 - 4 ) \)
    6. ) \( ( x^3 - 2x^2 + 3) - ( \dfrac{1}{4}x^3 + \dfrac{1}{2} x^2 - \dfrac{1}{3}) \)
Lösungen und ausführliche Erklärungen zu den obigen Fragen sind enthalten.

Weitere Referenzen und Links