Quadratische Funktionen (allgemeine Form)

Quadratische Funktionen gehören zu den wichtigsten algebraischen Funktionen und müssen in jedem modernen Algebrakurs an weiterführenden Schulen gründlich verstanden werden. Die Eigenschaften ihrer Diagramme wie Scheitelpunkt und x- und y-Achsenabschnitte werden interaktiv mithilfe eines HTML5-Applets untersucht.
Sie können dieses Applet auch verwenden, um die Beziehung zwischen den x-Achsenabschnitten des Graphen einer quadratischen Funktion f(x) und den Lösungen der entsprechenden quadratischen Gleichung f(x) = 0 zu untersuchen. Die Untersuchung erfolgt durch Ändern der Werte von drei Koeffizienten a, b und c, die in der Definition von f(x) enthalten sind.
Sobald Sie das vorliegende Tutorial abgeschlossen haben, möchten Sie vielleicht Tutorials zu quadratischen Funktionen durchgehen , grafische Darstellung quadratischer Funktionen und Löser zum Analysieren und Zeichnen einer quadratischen Funktion

A – Definition einer quadratischen Funktion

Eine quadratische Funktion f ist eine Funktion der Form
f(x) = ax 2 + bx + c
wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a ungleich Null ist. Der Graph der quadratischen Funktion wird Parabel genannt. Es handelt sich um eine „U“-förmige Kurve, die sich je nach Vorzeichen des Koeffizienten a nach oben oder unten öffnen kann.

Beispiele für quadratische Funktionen
a) f(x) = -2x 2 + x - 1
b) f(x) = x 2 + 3x + 2

Interaktives Tutorial (1)
Erkunden Sie quadratische Funktionen interaktiv mit dem unten gezeigten HTML5-Applet. Drücken Sie zum Starten die Taste "Ziehen".

a =
-10+10

b =
-10+10

c =
-10+10

>

Verwenden Sie die Felder im linken Bereich des Applet-Fensters, um die Koeffizienten a, b und c auf die Werte in den obigen Beispielen einzustellen, „zeichnen“ Sie und beobachten Sie das erhaltene Diagramm. Beachten Sie, dass der Graph, der Teil a) entspricht, eine sich nach unten öffnende Parabel ist, da der Koeffizient a negativ ist, und der Graph, der Teil b) entspricht, eine sich nach oben öffnende Parabel ist, da der Koeffizient a positiv ist. Sie können die Werte der Koeffizienten a, b und c ändern und die erhaltenen Diagramme betrachten.

Antworten

B – Standardform einer quadratischen Funktion und eines Scheitelpunkts

Jede quadratische Funktion kann in der Standardform geschrieben werden
f(x) = a(x - h) 2 + k
wobei h und k als Koeffizienten a, b und c angegeben werden.
Beginnen wir mit der
quadratischen Funktion in allgemeiner Form und vervollständigen das Quadrat, um es in Standardform umzuschreiben.
Gegebene Funktion f(x)
f(x) = ax
2 + bx + c
Faktorkoeffizient a aus den Termen in x 2 und x
f(x) = a ( x
2 + (b / a) x ) + c
Addiere und subtrahiere (b / 2a) 2 innerhalb der Klammern
f(x) = a ( x
2 + (b/a) x + (b/2a) 2 - (b/2a) 2 ) + c
Beachten Sie das
x
2 + (b/a) x + (b/2a) 2
kann geschrieben werden als
(x + (b/2a))
2
Wir schreiben nun f wie folgt
f(x) = a ( x + (b / 2a) )
2 - a(b / 2a) 2 + c
was geschrieben werden kann als
f(x) = a ( x + (b / 2a) )
2 - (b 2 / 4a) + c
Dies ist die Standardform einer quadratischen Funktion mit
h = - b / 2a
k = c - b 2 / 4a

Wenn Sie eine
quadratische Funktion grafisch darstellen, weist das Diagramm entweder einen Maximal- oder einen Minimalpunkt auf, der Scheitelpunkt genannt wird. Die x- und y-Koordinaten des Scheitelpunkts werden durch h bzw. k angegeben.
Beispiel 1 Schreiben Sie die quadratische Funktion f, gegeben durch f(x) = -2 x 2 + 4 x + 1 in Standardform und finden Sie den Scheitelpunkt des Diagramms.
Lösung
angegebene Funktion
f(x) = -2 x
2 + 4x + 1
faktor -2 heraus
f(x) = -2(x
2 - 2 x) + 1
Wir dividieren nun den Koeffizienten von x, der -2 ist, durch 2 und das ergibt -1 .
f(x) = -2(x
2 - 2x + (-1) 2 - (-1) 2 ) + 1
addiere und subtrahiere (-1) 2 innerhalb der Klammern
f(x) = -2(x
2 - 2x + (-1) 2 ) + 2 + 1
ähnliche Begriffe gruppieren und in Standardform schreiben
f(x) = -2(x - 1) 2 + 3

Das Obige ergibt h = 1 und k = 3 .
h und k können auch mithilfe der oben erhaltenen Formeln für h und k ermittelt werden.
h = - b / 2a = - 4 / (2(-2)) = 1
k = c - b
2 / 4a = 1 - 4 2 /(4(-2))= 3
Der Scheitelpunkt des Diagramms liegt bei (1,3) .
Interaktives Tutorial (2)
a) Gehen Sie zurück zum Applet-Fenster und setzen Sie a auf -2, b auf 4 und c auf 1 (im obigen Beispiel verwendete Werte). Überprüfen Sie, ob sich der Graph nach unten öffnet ( a < 0 ) und dass der Scheitelpunkt am Punkt (1,3) liegt und ein Maximalpunkt ist.
b) Verwenden Sie das Applet-Fenster und setzen Sie a auf 1, b auf -2 und c auf 0, f(x) = x
2 - 2 x. Überprüfen Sie, ob sich der Graph öffnet ( a > 0 ) und dass der Scheitelpunkt am Punkt (1,-1) liegt und ein Minimalpunkt ist.

C - x Achsenabschnitte des Graphen einer quadratischen Funktion


Die x-Achsenabschnitte des Graphen einer
quadratischen Funktion f gegeben durch
f(x) = a x 2 + b x + c
sind die realen Lösungen der quadratischen Gleichung, sofern sie existieren
a x 2 + b x + c = 0
Die obige Gleichung hat zwei reelle Lösungen und daher hat der Graph x Achsenabschnitte, wenn die Diskriminante D = b 2 - 4 a c positiv ist. Es gibt eine wiederholte Lösung, wenn D gleich Null ist. Die Lösungen ergeben sich aus den quadratischen Formeln
x 1 = (-b + √ D)/(2 a)
Und
x 2 = (-b - √ D)/(2 a)


Beispiel 2 Finden Sie die x-Achsenabschnitte für den Graphen jeder unten angegebenen Funktion
f(x) = x
2 + 2 x - 3
g(x) = -x
2 + 2 x - 1
h(x) = -2
2 + 2 x - 2
Lösung
a) Um die x-Achsenabschnitte zu finden, lösen wir
x
2 + 2 x - 3 = 0
Diskriminante D = 2
2 - 4 (1)(-3) = 16
zwei echte Lösungen:
x
1 = (-2 + √16) / (2 * 1) = 1
Und
x
2 = (-2 - √16) / (2 * 1) = -3
Der Funktionsgraph in Teil a) hat zwei x-Achsenabschnitte an den Punkten (1,0) und (-3,0).
b) Wir lösen -x
2 + 2 x - 1 = 0
Diskriminante D = 2
2 - 4(-1)(-1) = 0
man wiederholt reale Lösungen x_1 = -b / 2a = -2 / -2 = 1
Der Funktionsgraph in Teil b) hat einen x-Achsenabschnitt bei (1,0).
c) Wir lösen -2 x
2 + 2 x - 2 = 0
Diskriminante D = 2
2 - 4(-2)(-2) = -12
Keine echten Lösungen für die obige Gleichung
Kein x-Achsenabschnitt für den Funktionsgraphen in Teil c).

Interaktives Tutorial (3)
1) Gehen Sie zum Applet-Fenster und legen Sie die Werte von a, b und c für jedes der Beispiele in den Teilen a, b und c oben fest und überprüfen Sie die Diskriminante und die x-Achsenabschnitte der entsprechenden Diagramme.
2) Verwenden Sie das Applet-Fenster, um alle x-Achsenabschnitte für die folgenden quadratischen Funktionen zu finden.
a) f(x) = x
2 + x - 2
b) g(x) = 4 x
2 + x + 1
a) h(x) = x
2 - 4 x + 4
Verwenden Sie die im obigen Beispiel beschriebene Analysemethode, um die x-Achsenabschnitte zu finden und die Ergebnisse zu vergleichen.
3) Verwenden Sie das Applet-Fenster und setzen Sie a , b und c auf Werte, sodass b
2 - 4 a c < 0 . Wie viele x-Achsenabschnitte hat der Graph von f(x)?
4) Verwenden Sie das Applet-Fenster und stellen Sie a, b und c auf Werte ein, sodass b
2 - 4 a c = 0 ist. Wie viele x-Achsenabschnitte hat der Graph von f(x)?
5) Verwenden Sie das Applet-Fenster und stellen Sie a, b und c auf Werte ein, sodass b
2 - 4ac > 0 .
Wie viele x-Achsenabschnitte hat der Graph von f(x)?

Antworten

D - y-Achsenabschnitte des Graphen einer quadratischen Funktion


Der y-Achsenabschnitt des Graphen einer quadratischen Funktion ist gegeben durch f(0) = c .
Beispiel 3 Finden Sie den y-Achsenabschnitt des Graphen der folgenden quadratischen Funktionen.
a) f(x) = x
2 + 2 x - 3
b) g(x) = 4 x
2 - x + 1
c) h(x) = -x
2 + 4 x + 4
Lösung a) f(0) = -3 . Der Graph von f hat einen y-Achsenabschnitt bei (0,-3) .
b) g(0) = 1 . Der Graph von g hat einen y-Achsenabschnitt bei (0,1).
c) h(0) = 4 . Der Graph von h hat einen y-Achsenabschnitt bei (0,4).
Interaktives Tutorial (4)
a) Verwenden Sie das Applet-Fenster, um den y-Achsenabschnitt für die
quadratischen Funktionen im obigen Beispiel zu überprüfen.
b) Verwenden Sie das Applet-Fenster, um zu überprüfen, ob der y-Achsenabschnitt am Punkt (0,c) für verschiedene Werte von c liegt.

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