| Sie können auch dieses Applet zu f erforschen die Beziehung zwischen den x fängt der Graph einer quadratischen Funktion (x) und die Lösungen der entsprechenden quadratischen Gleichung f (x) = 0. Die Exploration wird durch die Änderung Werte von 3 Koeffizienten a, b und c durchgeführt, die in der Definition von f (x).
Sobald Sie fertig vorliegenden Tutorial, möchten Sie vielleicht zu durchlaufen Tutorials auf quadratische Funktionen und Graphen quadratischer Funktionen .
Falls nötig, Free Millimeterpapier verfügbar ist. A - Definition einer quadratischen Funktion
Eine quadratische Funktion f ist eine Funktion der Form
f (x) = ax 2 + bx + c
wo a, b und c sind reelle Zahlen und einem nicht gleich Null. Der Graph der quadratischen Funktion wird aufgerufen, eine Parabel. Es ist ein "U"-förmige Kurve, die offen nach oben oder unten kann je nach dem Vorzeichen des Koeffizienten a. Beispiele für quadratische Funktionen - f (x) = -2x2 + x - 1
- f (x) = x 2 + 3x + 2
Interaktives Tutorial (1)
Die untenstehenden Button startet das Applet auf einer separaten großen Bildschirm.
- Klicken Sie auf den Button oben "Klicken Sie hier, um zu starten", um das Applet starten und maximieren Sie das Fenster erreicht.
- Verwenden Sie den Scrollbalken im linken Fenster des Applet-Fensters, um Koeffizienten a, b und c, um die Werte in den Beispielen oben gesetzt und beobachten Sie die Grafik erhalten. Beachten Sie, dass die Grafik um entsprechende Teil a) ist eine Parabel Öffnung nach unten, da Koeffizient a negativ ist und die Grafik entsprechend Teil B) ist eine Parabel Öffnung seit Koeffizient a positiv ist. Sie können die Werte der Koeffizienten a, b und c erhalten und beachten Sie die Graphen.
- Legen Sie eine Null und erklären Sie die Grafik erhalten. Welcher Begriff in ax 2 + bx + c gibt die parabolische Form?
Antworten
B - Standard Form einer quadratischen Funktion und Vertex
Jede quadratische Funktion können Standard-Form geschrieben werden in der
f (x) = a (x - h) 2 + k
wo h und k sind in Bezug auf einen bestimmten Koeffizienten, B und C.
Lasst uns beginnen mit der quadratischen Funktion in die allgemeine und vollständige das Quadrat zu bilden umschreiben es im Standard.
- Gegebenen Funktion f (x)
f (x) = ax 2 + bx + c
- Faktor Koeffizienten a aus den Bedingungen in x 2 und x
f (x) = a [x 2 + (b / a) x] + c
- addieren und subtrahieren (b/2a) 2 in den Klammern
f (x) = a [x 2 + (b / a) x + (b/2a) 2 - (b/2a) 2] + c
- Beachten Sie, dass
x 2 + (b / a) x + (b/2a) 2
- kann geschrieben werden als
[x + (b/2a)] 2
- Wir schreiben nun f wie folgt
f (x) = a [x + (b/2a)] 2 - a (b/2a) 2 + c
- was kann geschrieben werden als
f (x) = a [x + (b/2a)] 2 - (b 2 / 4a) + c
- Dies ist die Standard Form einer quadratischen Funktion mit
h = -b / (2a)
k = c - b 2 / (4a)
Wenn Sie Funktionsgraphen einer quadratischen, wird die Grafik haben entweder ein Maximum oder Minimum bezeichnet den Scheitelpunkt. Die x-und y-Koordinaten der Knoten werden durch h und k gegeben bzw.
Beispiel: Schreiben Sie die quadratische Funktion f gegeben durch f (x) = 2x-4x + 2 + 1 in Standard-Form und der Suche nach den Scheitelpunkt der Kurve.
Lösung
- gegebene Funktion
f (x) = -2x2 + 4x + 1
- Faktor -2 aus
f (x) = -2 (x 2 - 2x) + 1
- Wir teilen die Koeffizienten von x, welche durch 2 -2 ist und das gibt -1.
f (x) = -2 (x 2 - 2x + (-1) 2 - (-1) 2) + 1
- addieren und subtrahieren (-1) 2 in den Klammern
f (x) = -2 (x 2 - 2x + (-1) 2) + 2 + 1
- Gruppe wie Bedingungen und in Standard-Form schreiben
f (x) = -2 (x - 1) 2 + 3
- Die obige Abbildung zeigt h = 1 und k = 3.
- h und k kann auch oberhalb gefunden werden über die Formeln für H und K erhalten.
h = -b/2a = -4 / (2 *- 2) = 1
k = c - b 2 / (4a) = 1 - 42 / (4 *- 2) = 3
- Der Scheitelpunkt der Kurve ist (1,3).
Interaktives Tutorial (2)
- Gehen Sie zurück zu dem Applet-Fenster und setzte einen bis -2, b und c zu 4 bis 1 (Werte in dem obigen Beispiel verwendet). Prüfen Sie, ob der Graph nach unten geöffnet (a <0) und dass der Scheitel an der Stelle (1,3) und einer maximalen Punkt.
- Verwenden Sie das Applet-Fenster und setzte einen bis 1, b und c auf -2 bis 0, f (x) = x 2 - 2x. Prüfen Sie, ob die Grafik öffnet (a> 0) und dass der Knoten ist an dem Punkt (1, -1) und ist ein Minimum.
C - x fängt der Graph einer quadratischen Funktion
Die x fängt der Graph einer quadratischen Funktion f gegeben durch
f (x) = ax 2 + bx + c
sind die wirklichen Lösungen, wenn sie Gleichung existieren, der quadratischen ax 2 + bx + c = 0
Die obige Gleichung hat zwei reelle Lösungen und damit auch die Grafik hat x abfängt, wenn die Diskriminante D = b 2 - 4ac positiv ist. Es hat eine wiederholte Lösung, wenn D gleich Null ist. Die Lösungen werden durch die quadratische Formeln
x1 = (-b + sqrt (D)) / 2a
und
x2 = (-b - sqrt (D)) / 2a
Beispiel: Finden Sie die x unten fängt für den Graphen jeder Funktion gegeben
- f (x) = x 2 + 2x - 3
- g (x) =-x 2 + 2x - 1
- h (x) = -2x2 + 2x - 2
Lösung
- So finden Sie die x abfängt, wir lösen
x 2 + 2x - 3 = 0
Diskriminante D = 22 - 4 * 1 * (-3) = 16
zwei reelle Lösungen:
x1 = (-2 + sqrt (16)) / (2 * 1) = 1
und
x2 = (-2 - sqrt (16)) / (2 * 1) = -3
Der Graph der Funktion in Teil a) zwei x abfängt sind, hat in den Punkten (1,0) und (-3,0)
- Wir lösen -x 2 + 2x - 1 = 0
Diskriminante D = 02 bis 04 Februar * (-1) * (-1) = 0
ein wiederholter echte Lösungen x1 = -b/2a = -2/-2 = 1
Der Graph der Funktion im Teil B) hat eine x abfangen bei (1,0).
- Wir lösen-2x 2 + 2x - 2 = 0
Diskriminante D = 02 bis 04 Februar * (-2) * (-2) = -12
Keine wirkliche Lösungen für die obige Gleichung
Nr. x abzufangen für den Graphen der Funktion im Teil C).
Kursus (3)
- Gehen Sie auf die Applet-Fenster und stellen Sie die Werte von a, b und c für jedes der Beispiele in den Teilen A, B und C oben und überprüfen Sie die Diskriminante und der x fängt der entsprechenden Graphen.
- Verwenden Sie das Applet-Fenster zu finden für jedes x die folgenden quadratischen Funktionen abfängt.
a) f (x) = x 2 + x - 2
b) g (x) = 4x 2 + x + 1
a) h (x) = x 2 - 4x + 4
Mit der analytischen Methode im obigen Beispiel beschrieben, um die x fängt finden und vergleichen Sie die Ergebnisse. - Verwenden Sie das Applet-Fenster und stellen Sie a, b und c, um Werte, so dass b 2 - 4ac <0. Wie viele x-fängt den Graphen von f (x) hat?
- Verwenden Sie das Applet-Fenster und stellen Sie a, b und c, um Werte, so dass b 2 - 4ac = 0 ist. Wie viele x-fängt den Graphen von f (x) hat?
- Verwenden Sie das Applet-Fenster und stellen Sie a, b und c, um Werte, so dass b 2 - 4ac> 0. Wie viele x-fängt den Graphen von f (x) hat?
Antworten
D - y fängt der Graph einer quadratischen Funktion
Die y-Achsabschnitt der Graph einer quadratischen Funktion ist gegeben durch f (0) = c.
Beispiel: Finden Sie die y-Achsabschnitt der Graph der folgenden quadratischen Funktionen. - f (x) = x 2 + 2x - 3
- g (x) = 4x 2 - x + 1
- h (x) =-x 2 + 4x + 4
Lösung - f (0) = -3. Der Graph von f hat ay am Schnittpunkt (0, -3).
- g (0) = 1. Der Graph von g hat ay am Schnittpunkt (0,1).
- h (0) = 4. Der Graph H hat ja am Schnittpunkt (0,4).
Kursus (4) - Verwenden Sie das Applet-Fenster, um beispielsweise überprüfen Sie die Y-Achsabschnitt der quadratischen Funktionen in den oben genannten.
- Verwenden Sie das Applet-Fenster auf der y-Achsenabschnitt Scheck wird an der Stelle (0, c) für verschiedene Werte von c.
Klicken Sie auf die Schaltfläche "Klicken Sie hier, um zu starten", um das Applet zu starten. Nun drücken Sie den Button "Neues Diagramm", um einen neuen Graphen.
Als Übung c. Sie werden gebeten + zu finden, die Gleichung der quadratischen Funktion, deren Graph wird gezeigt, in dem Applet und schreibt sie in der Form f (x) = ax 2 + bx Sobald Sie die Gleichung des Graphen Sie Ihre Antwort durch einen Klick auf den zweiten Button können überprüfen gefunden "show / hide" Das wird Koeffizienten a, b und c auf der linken Seite der Plot-Panel-Display.
Beispiel: Finden Sie den Graphen der quadratischen Funktion f, deren Graph ist unten dargestellt.
Lösung
Es gibt mehrere Methoden, um die oben genannte Frage zu beantworten, aber alle von ihnen haben eine Idee gemeinsam: Sie müssen verstehen, und wählen Sie die richtigen Informationen aus dem Graphen.
Methode 1:
Die obige Grafik hat zwei x auf (-3,0) und (-1,0) und ay abzufangen fängt an (0,6). Die x-Koordinaten der x abfängt kann die Gleichung der Funktion f zu schreiben, wie folgt:
f (x) = a (x + 3) (x + 1)
Wir verwenden nun die y-Achsenabschnitt f (0) = 6
6 = a (0 + 3) (0 + 1)
und zu lösen, um für ein a = 2 zu finden. Die Formel für die quadratische Funktion f ist gegeben durch:
f (x) = 2 (x + 3) (x + 1) = 2x 2 + 8 x + 6
Methode 2:
Die oben genannten Parabel hat einen Knoten an (-2, -2) und ay abfangen bei (0,6). Der Standard (oder Scheitel) Form einer quadratischen Funktion f geschrieben werden kann
f (x) = a (x + 2) 2 - 2
Wir verwenden die y abzufangen f (0) = 6
6 = a (0 + 2) 2 - 2 Lösen Sie für eine zu a = 2 zu finden. Die Formel für die quadratische Funktion f ist gegeben durch:
f (x) = 2 (x + 2) 2 - 2 = 2x 2 + 8 x + 6
Methode 3:
Da eine quadratische Funktion hat die Form
f (x) = ax 2 + bx + c
Wir brauchen 3 Punkte auf dem Graphen von f um 3 Gleichungen lösen, schreiben und für a, b und c.
Die folgenden Punkte sind auf dem Graphen von f
(-3, 0), (-1, 0) und (0, 6)
Punkt (0, 6) gibt
f (0) = 6 = a (0) 2 + b (0) + c = c
Lösung für C bis c = 6 zu erhalten
Die beiden anderen Punkte gibt zwei weitere Gleichungen
(-3, 0) gibt f (-3) = a (-3) 2 + b (-3) + 6
9 führt die a - 3 b + 6 = 0
und (-1, 0) gibt f (-3) = a (-1) 2 + b (-1) + 6
die eine - wird b + 6 = 0
Lösen Sie die beiden letzten Gleichungen in a und b zu erhalten
a = 2 und b = 4 und gibt
f (x) = 2x 2 + 8 x + 6
Gehen Sie zurück zu dem Applet oben erzeugen einen Graphen ein und finden Sie ihre Gleichung. Sie können beliebig viele Graphen zu erzeugen, daher Frage, wie Sie wollen. NEXT
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