Funzioni quadratiche (General Form)

Funzioni quadratiche e le propriet� dei loro grafici come vertice e x ed intercetta y sono esplorate in modo interattivo con le applet.

� inoltre possibile utilizzare questa applet per esplorare il rapporto tra le intercettazioni di x il grafico di una funzione quadratica f (x) e le soluzioni dell'equazione corrispondente quadratica f (x) = 0. L'esplorazione avviene modificando i valori di 3 coefficienti a, b, c inclusi nella definizione di f (x).

Una volta terminata l'attuale tutorial, si consiglia di passare attraverso esercitazioni sulle funzioni quadratiche e grafica funzioni quadratiche.

Se necessario, carta millimetrata gratuito � disponibile.

A - Definizione di una funzione quadratica


Una funzione quadratica f � una funzione della forma
f (x) = ax 2 + bx + c

dove a, b, c sono numeri reali e non pari a zero. Il grafico della funzione quadratica si chiama una parabola. Si tratta di una "U" curva a forma di che si pu� aprire verso l'alto o verso il basso a seconda del segno del coefficiente a.

Esempi di funzioni quadratiche

  1. f (x) = -2x2 + x - 1
  2. f (x) = x 2 + 3x + 2

Tutorial Interattivo (1)
Il bottone qui sotto si avvia l'applet su uno schermo separato di grandi dimensioni.

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  • Fare clic sul pulsante sopra "clicca qui per iniziare" per avviare l'applet e massimizzare la finestra ottenuti.
  • Utilizzare le barre di scorrimento nel pannello di sinistra della finestra di applet per impostare i coefficienti a, b, c per i valori negli esempi di cui sopra e osservare il grafico ottenuto. Si noti che il grafico corrispondente a una parte a) � una parabola di apertura verso il basso dal coefficiente a � negativo e il grafico corrispondente a una parte b) � una parabola di apertura a partire dal coefficiente a positivo. � possibile modificare i valori dei coefficienti a, b, c e osservare i grafici ottenuti.
  • Impostare un a zero e spiegare il grafico ottenuto. Che a lungo termine in ax 2 + bx + c d� la forma parabolica?

    Answers


B - forma standard di una funzione quadratica e vertex


Qualsiasi funzione quadratica pu� essere scritto nella forma standard

f (x) = a (x - h) 2 + k


dove H e K sono riportati in termini di coefficienti a, b, c.

Cominciamo con la funzione quadratica in forma generale e completo della piazza per riscrivere in forma standard.
  • Data la funzione f (x)
    f (x) = ax 2 + bx + c

  • fattore coefficiente uno fuori dei termini di x 2 e x
    f (x) = a [x 2 + (b / a) x] + c

  • aggiungere e sottrarre (b/2a) 2 all'interno delle parentesi
    f (x) = a [x 2 + (b / a) x + (b/2a) 2 - (b/2a) 2] + c

  • Si noti che
    x 2 + (b / a) x + (b/2a) 2

  • pu� essere scritta come
    [x + (b/2a)] 2

  • Noi ora scrivere F come segue
    f (x) = a [x + (b/2a)] 2 - ( b/2a () 2 + c

  • che pu� essere scritta come
    f (x) = a [x + (b/2a)] 2 - (b 2 / 4a) + c

  • Questa � la forma standard di una funzione quadratica con
    h = -b / (2a)

    k = c - b 2 / (4a)


Quando si grafico di una funzione quadratica, il grafico, o saranno un massimo o un punto di minimo chiamato il vertice. Le coordinate x e y del vertice sono date da H e K, rispettivamente.

Esempio: Scrivere la funzione quadratica f data da f (x) = -2x2 + 4x + 1 in forma standard e trovare il vertice del grafico.

Soluzione
  • data la funzione
    f (x) = -2x2 + 4x + 1

  • Fattore -2 out
    f (x) = -2 (x 2 - 2x) + 1

  • Ora divide il coefficiente di x, che � -2 per 2 e che d� -1.
    f (x) = -2 (x 2 - 2x + (-1) 2 - (-1) 2) + 1

  • aggiungere e sottrarre (-1) 2 all'interno delle parentesi
    f (x) = -2 (x 2 - 2x + (-1) 2) + 2 + 1

  • gruppo come termini e scrivere in forma standard
    f (x) = -2 (x - 1) 2 + 3

  • Quanto sopra d� h = 1 e k = 3.

  • h e k si trovano anche utilizzando le formule per h e k ottenuto in precedenza.
    h = -b/2a = -4 / (2 *- 2) = 1

    k = c - b 2 / (4a) = 1 - 4 2 / (4 *- 2) = 3

  • Il vertice del grafico � a (1,3).

Interattivo (2)

  • Tornare alla finestra di applet e di impostare una a -2, b a 4 e C-1 (valori utilizzati nell'esempio precedente). Controllare che il grafico si apre verso il basso (a <0) e che il vertice � nel punto (1,3) ed � un punto di massimo.

  • Utilizzare la finestra di applet e di impostare una a 1, b a -2 e C a 0, f (x) = x 2 - 2x. Controllare che il grafico si apre (a> 0) e che il vertice si trova al punto (1, -1), ed � un punto di minimo.


C - x intercetta del grafico di una funzione quadratica



L'intercetta x del grafico di una funzione quadratica f data da
f (x) = ax 2 + bx + c

sono le soluzioni reali, se esistono, dell'equazione quadratica
ax 2 + bx + c = 0


L'equazione di cui sopra ha due soluzioni reali e, pertanto, il grafico ha x intercetta quando il discriminante D = b 2 - 4ac � positivo. � una soluzione ripetuta quando D � uguale a zero. Le soluzioni sono date dalle formule quadratica

x1 = (-b + sqrt (D)) / 2a

e
x2 = (-b - sqrt (D)) / 2a


Esempio: Trova la x intercetta per il grafico di ogni funzione indicati di seguito

  1. f (x) = x 2 + 2x - 3
  2. g (x) = -x 2 + 2x - 1
  3. h (x) = -2x2 + 2x - 2

Soluzione
  1. Per trovare la x intercettazioni, risolviamo

    x 2 + 2x - 3 = 0

    discriminante D = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 16

    due soluzioni reali:
    x1 = (-2 + sqrt (16)) / (2 * 1) = 1
    e
    x2 = (-2 - sqrt (16)) / (2 * 1) = -3

    Il grafico della funzione in parte) ha due x intercetta sono i punti (1,0) e (-3,0)

  2. Risolviamo -x 2 + 2x - 1 = 0

    discriminante D = 2 2 - 4 * (-1) * (-1) = 0

    uno ripetuto soluzioni reali x1 = -b/2a = -2/-2 = 1

    Il grafico della funzione in parte b) � uno x intercetta (1,0).

  3. Risolviamo -2x 2 + 2x - 2 = 0

    discriminante D = 2 2 - 4 * (-2) * (-2) = -12

    No soluzioni reali per l'equazione di cui sopra

    Non intercetta x per il grafico della funzione in parte c).

Interattivo (3)

  • Andare alla finestra applet e impostare i valori di a, b, c per ciascuno degli esempi in parti a, b, c di cui sopra e cercare la discriminante e la x intercetta dei grafici corrispondenti.
  • Utilizzare la finestra applet di trovare qualsiasi x intercetta per le seguenti funzioni quadratiche.
    a) f (x) = x 2 + x - 2
    b) g (x) = 4x 2 + x + 1
    a) h (x) = x 2 - 4x + 4
    Utilizzare il metodo analitico descritto nell'esempio precedente per trovare l'intercetta x e confrontare i risultati.
  • Utilizzare la finestra di applet e impostare a, b, c per i valori in modo tale che b 2 - 4ac <0. Quanti x-intercetta il grafico di f (x) ha?
  • Utilizzare la finestra di applet e impostare a, b, c per i valori in modo tale che b 2 - 4ac = 0. Quanti x-intercetta il grafico di f (x) ha?
  • Utilizzare la finestra di applet e impostare a, b, c per i valori in modo tale che b 2 - 4ac> 0. Quanti x-intercetta il grafico di f (x) ha?

Answers


D - intercetta y del grafico di una funzione quadratica



L'intercetta y del grafico di una funzione quadratica � data da f (0) = c.

Esempio: Trovare l'intercetta y del grafico delle seguenti funzioni quadratiche.
  1. f (x) = x 2 + 2x - 3
  2. g (x) = 4x 2 - x + 1
  3. h (x) = -x 2 + 4x + 4
Soluzione
  1. f (0) = -3. Il grafico di intercettare f ha ay a (0, -3).
  2. g (0) = 1. Il grafico di intercettare g ha ay a (0,1).
  3. h (0) = 4. Il grafico di h � di intercettare ay a (0,4).
Tutorial Interattivo (4)
  • Utilizzare la finestra applet per verificare l'intercetta y per le funzioni quadratiche nell'esempio precedente.
  • Utilizzare la finestra applet per verificare l'intercetta y � il punto (0, c) per diversi valori di c.

E - Esercizi: Trovare l'equazione di una funzione quadratica dato il suo grafico


Fare clic sul pulsante "clicca qui per iniziare" per avviare l'applet. Ora premere il pulsante "nuovo grafico" per generare un nuovo grafico.

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Come un esercizio si � chiesto di trovare l'equazione della funzione quadratica il cui grafico � mostrato nella applet e scrivere nella forma f (x) = ax 2 + bx + c. Dopo aver trovato l'equazione del grafico si pu� controllare la risposta cliccando sul secondo pulsante "Mostra / Nascondi" che mostrer� i coefficienti a, b, c, sul lato sinistro del pannello di stampa.

Esempio: trovare il grafico della funzione quadratica f il cui grafico � riportato di seguito.

soluzione grafica per verificare


Soluzione

Ci sono diversi metodi per rispondere alla domanda di cui sopra, ma tutti hanno una sola idea in comune: � necessario capire e quindi selezionare le giuste informazioni dal grafico.

Metodo 1:

Il grafico di cui sopra ha due x intercetta a (-3,0) e (-1,0) e intercetta ay a (0,6). Coordinate x del x intercettazioni possono essere utilizzati per scrivere l'equazione della funzione f nel modo seguente:

f (x) = a (x + 3) (x + 1)

Adesso noi usiamo la intercetta su y f (0) = 6

6 = a (0 + 3) (0 + 1)

e risolvere per trovare a = 2. La formula per la funzione quadratica f � dato da:

f (x) = 2 (x + 3) (x + 1) = 2x 2 + 8 x + 6

Metodo 2:

La parabola di cui sopra ha un vertice in (-2, -2) e intercettare ay a (0,6). Lo standard (o vertice) sotto forma di una funzione quadratica f pu� essere scritta

f (x) = a (x + 2) 2 - 2

Usiamo l'intercetta y f (0) = 6

6 = a (0 + 2) 2 - 2 Per risolvere uno per trovare a = 2. La formula per la funzione quadratica f � dato da:

f (x) = 2 (x + 2) 2 - 2 = 2x 2 + 8 x + 6

Metodo 3:

Poich� una funzione quadratica ha la forma

f (x) = ax 2 + bx + c

abbiamo bisogno di 3 punti sul grafico di f, al fine di scrivere 3 equazioni e risolvere per a, b, c.

I seguenti punti sono il grafico di f

(-3, 0), (-1, 0) e (0, 6)

punto (0, 6) d�

f (0) = 6 = a (0) 2 + b (0) + c = c
c risolvere per ottenere c = 6
Altri due punti d� due equazioni pi�

(-3, 0) si ottiene f (-3) = a (-3) 2 + b (-3) + 6

che porta a 9 a - 3 b + 6 = 0

e (-1, 0) si ottiene f (-3) = a (-1) 2 + b (-1) + 6

che diventa a - b + 6 = 0

Risolvere le ultime due equazioni in a e b per ottenere

a = 2 e b = 4 e d�

f (x) = 2x 2 + 8 x + 6

Torna alla applet di cui sopra, generare un grafico e trovare la sua equazione. � possibile generare il grafico come tanti, quindi questione, come si desidera.

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Aggiornato: 27 novembre 2007 (A Dendane)