Fonctions du Second Degré - Applet

Fonctions du second degré (quadratique) et les propriétés de leurs graphes comme le sommet et les points d'intersection avec les axes des x et des y sont étudiées dynamiquement utilisant une applet. L'interprétation graphique des racines de l'équation du second est aussi étudiée. Aussi des exercices ou il faut trouver la formule de la fonction du second degré étant donne son graphe sont en bas de la page.

L'étude des fonctions du second degré est faite ici en changeant les valeurs des 3 coefficients a, b et c utilises dans la définition de f(x).

Papier graphique gratuit a telecharger pour faire des graphes est disponible.

A - Definition de la fonction du second degre (quadratique)


Une
fonction du second degré prends la forme suivante

f(x) = ax2 + bx + c

ou a, b et c sont des nombres réels avec le coefficient a ne pouvant pas égale a zéro. Le graphe de la
fonction du second degré est une parabole qui peut s'ouvrir vers le haut ou vers le bas.

Exemples de fonctions du second degré

  1. f(x) = -2x2 + x - 1
  2. f(x) = x2 + 3x + 2

Etude Dynamique

Votre browser ignore completemnet l' <APPLET> tag!

  • Appuyer sur le bouton "appuyer ici" pour démarrer l'applet.
  • Utilisez les boutons en haut a gauche de l'applet pour donner aux coefficients a, b and c les mêmes valeurs des exemples donnes ci dessus et examinez les graphes obtenus. Notez que le graphes correspondant a la fonction donnée en a) est une parabole s'ouvrant ver le bas puisque le coefficient a est négatif et le graphe correspondant a la fonction en b) est une parabole s'ouvrant vers le haut puisque le coefficient a est positif. Changez a, b et c et examiner d'autres graphes.
  • Donnez au coefficient a une valeur égale a zéro and expliquez le graphe obtenu. Lequel des trois termes dans la formule ax2 + bx + c de la fonction du second degré donne la forme parabolique?


B - Forme Canonique de la Fonction du Second degré


Toute fonction du second degré peut être écrite sous la forme

f(x) = a(x - h)2 + k


ou h et k peuvent être calcules en fonctions des coefficients a, b and c.
  • Étant donne
    f(x) = ax2 + bx + c

  • factoriser le coefficient a
    f(x) = a [ x2 + (b/a)x ] + c

  • ajoutez et soustraire l'expression (b/2a)2 a l'intérieure des parenthèses
    f(x) = a[ x2 + (b/a)x + (b/2a)2 - (b/2a)2 ] + c

  • Notez que l'expression
    x2 + (b/a)x + (b/2a)2

  • peut etre écrite sous la forme
    [x + (b/2a)]2

  • Maintenant la fonction f peut écrite comme suit
    f(x) = a[ x + (b/2a) ]2 - a(b/2a)2 + c

  • qui peut être écrite sous la forme
    f(x) = a[ x + (b/2a) ]2 - (b2/4a) + c

  • C'est la forme canonique d'une fonction du second degré avec
    h = - b/(2a)

    k = c - b2/(4a)


Le graphe d'une fonction du second degré a soit un maximum ou bien un minimum qu'on appelle sommet et dont les coordonnes x et y sont données par h and k respectivement.

Exemple : Écrivez la fonction f donnée par f(x) = -2x2 + 4x + 1 sous la forme canonique.

Solution
  • La fonction donnee
    f(x) = -2x2 + 4x + 1

  • factorisez -2
    f(x) = -2(x2 - 2x) + 1

  • Utilisant la même méthode utilisée ci dessus, on a.
    f(x) = -2(x2 - 2x + (-1)2 - (-1)2) + 1

  • ajoutez et soustraire (-1)2 a l'intérieure des parenthèses
    f(x) = -2(x2 - 2x + (-1)2) + 2 + 1

  • Les termes entre parenthèses forment un carre et donc la forme canonique de la fonction donnée est de la forme suivante
    f(x) = -2(x - 1)2 + 3

  • ce qui donne h = 1 and k = 3.

  • h et k peuvent aussi être calcules en utilisant formules obtenues ci dessus.
    h = -b/2a = -4/(2*-2) = 1

    k = c - b2/(4a) = 1 - 42/(4*-2) = 3

  • Le sommet de la fonction donnée est (1,3).

Etude Dynamique(2)

  • Utilisez l'applet et donnez aux coefficients a, b et c les valeurs -2, 4 et 1 (valeurs de a, b et c dans l'exemple ci dessus). Vérifier que le graphe s'ouvre vers le bas (a < 0) et que le sommet a les coordonnées (1,3) et que c'est un maximum.

  • Utilisez l'applet et donnez aux coefficients a, b et c les valeurs 1, -2 et 0, f(x) = x2 - 2x. Vérifiez que le graphe s'ouvre vers le haut (a > 0) et que le sommet a les coordonnées (1,-1) et c'est un minimum.


C - Points D'intersections Avec l'axe des x



L'abscisse x des points d'intersection d'une fonction du second degré
f(x) = ax2 + bx + c

sont les racines réelles , si elles existent, de l'équation du second degré
ax2 + bx + c = 0


l'équation ax
2 + bx + c = 0 a deux racines et donc le graphe a deux points d'intersection avec l'axe des x quand le discriminant D = b2 - 4ac est positif. Une solution, le graphe touches l'axe des x quand D est égale a zéro. Les racines sont données par les formules

x1 = (- b + sqrt(D))/2a

and
x2 = (- b - sqrt(D))/2a


Exemple: Trouvez l'abscisse x des points d'intersection du graphe de chacune des fonction données ci dessous

  1. f(x) = x2 + 2x - 3
  2. g(x) = -x2 + 2x - 1
  3. h(x) = -2x2 + 2x - 2

Solution
  1. Résoudre l'équation

    x2 + 2x - 3 = 0

    discriminant D = 22 - 4*1*(-3) = 16

    deux racines réelles:
    x1 = (-2 + sqrt(16))/(2*1) = 1
    and
    x2 = (-2 - sqrt(16))/(2*1) = -3

    Le graphe en a) a deux points d'intersection avec l'axe des x: (1,0) et (-3,0)

  2. résoudre -x2 + 2x - 1 = 0

    discriminant D = 22 - 4*(-1)*(-1) = 0

    Une solution x1 = -b/2a = -2/-2 = 1

    Le graphe en b) touche l'axe des x en; un point (1,0).

  3. Résoudre -2x2 + 2x - 2 = 0

    discriminant D = 22 - 4*(-2)*(-2) = -12

    Pas de solutions réelles

    Le graphe de la fonction en c) n'a aucun point d'intersection avec l'axe des x.

Etude Dynamique (3)

  • Utilisez l'applet pour vérifier les points d'intersection trouves ci dessus. Vérifier aussi la valeur du discriminant.
  • Utiliser l'applet et donnez a a,b et c des valeurs tel que b2 - 4ac < 0. En combien de points le graphe de f(x) coupe l'axe des x?
  • Utiliser l'applet et donnez a a,b et c des valeurs tel que b2 - 4ac = 0. En combien de points le graphe de f(x) touche l'axe des x?
  • Utiliser l'applet et donnez a a,b et c des valeurs tel que b2 - 4ac > 0. En combien de points le graphe de f(x) coupe l'axe des x?

E - Exercices: Trouvez la formule de la fonction du second degré étant donne son graphe


Appuyer sur le bouton "click here to start" pour démarrer l'applet. Maintenant appuyer sur le bouton "new graph" afin d'obtenir un nouveau graphe.

Your browser is completely ignoring the <APPLET> tag!

Exemple: Trouver la formule de la fonction du second degré dont le graphe est donne ci dessous.

graphe d'une fonction du second degre


Solution

méthode 1:

Le graphe coupe l'axe des x en deux points (-3,0) et (-1,0), et il coupe l'axe des y en un point (0,6). On peut donc écrire que la formule de fonction est de la forme:

f(x) = a(x + 3)(x + 1)

On sait aussi que f(0) = 6 (point d'intersection du graphe avec l'axe des y) et donc

6 = a(0 + 3)(0 + 1)

et l'on trouve a = 2. La formule de la fonction a trouver est donnée comme suit

f(x) = 2(x + 3)(x + 1) = 2x 2 + 8 x + 6

méthode 2:

La parabole a un sommet au point (-2 , -2) et couper l'axe des y au point (0,6). La forme canonique de f peut etre donnee par

f(x) = a(x + 2) 2 - 2

Utilisez f(0) = 6

6 = a(0 + 2) 2 - 2, ce qui donne a = 2, et donc la formule de la fonction est donnée par

f(x) = 2(x + 2) 2 - 2 = 2x 2 + 8 x + 6

méthode 3:

Une fonction du second degré peut aussi être écrite sous la forme

f(x) = ax2 + bx + c

Nous avons besoin de 3 points sur le graphe de f pour écrire 3 équations et les résoudre pour trouver a, b et c.

Les points suivant sont sur le graphe

(-3 , 0) , (-1 , 0) and (0 , 6)

Le (0 , 6) nous permet d'écrire

f(0) = 6 = a(0)2 + b(0) + c = c
résoudre l'équation pour trouver c = 6
Les deux autres points donne les deux équations

(-3 , 0) donne f(-3) = a(-3)2 + b(-3) + 6

ce qui donne 9a - 3b + 6 = 0

et le point (-1 , 0) donne f(-3) = a(-1)2 + b(-1) + 6

ce qui donne a - b + 6 = 0

Résoudre le système d'équation 9a - 3b + 6 = 0 et a - b + 6 = 0 pour trouver

a = 2 et b = 4

La formule de la fonction est donnée par: f(x) = 2x 2 + 8 x + 6

Maintenant utilisez l'applet pour générer des graphes et trouver ses équations. Vous pouvez générer autant de graphes que vous voulez et trouver la formule correspondante a chaque graphe.

Plus d'Exercices de Mathematiques Utilisant les Applets.


Home Page - Online Calculators - Trigonometry - Antennas - Graphing - Precalculus Tutorials - Calculus Tutorials
Calculus Questions - Geometry Tutorials - Precalculus Applets - Applied Math - Precalculus Questions and Problems -
Equations, Systems and Inequalities - Geometry Calculators - Math Software - Elementary Statistics -
Author - e-mail

Updated: 27 November 2007 (A Dendane)
More To Explore