Kvadratiske funksjoner (General Form)

Du kan også bruke denne appleten til å utforske forholdet mellom x avskjærer av grafen til en kvadratisk funksjon f (x) og løsningene på tilsvarende kvadratisk ligning f (x) = 0. Utforskningen blir gjennomført ved å endre verdiene av tre koeffisienter a, b og c er inkludert i definisjonen av f (x).

Når du er ferdig med denne opplæringen, kan det være lurt å gå gjennom opplæringsprogrammer på kvadratiske funksjoner og grafiske kvadratiske funksjoner .

Hvis nødvendig, Gratis millimeterpapir er tilgjengelig.

Eksempler på kvadratiske funksjoner

1. f (x) = -2x ² + x - 1
2. f (x) = x ² + 3x + 2

Interaktiv opplæring (1)
Knappen starter nedenfor appleten på en separat stor skjerm.

• Klikk på knappen over "klikk her for å starte" for å starte appleten og maksimere vinduet innhentet.
• Bruk rullefelt i venstre panel av appleten vinduet til å angi koeffisienter a, b og c til verdiene i eksemplene over og observere grafen innhentet. Merk at grafen tilsvarer del a) er en parabel åpning ned siden koeffisienten a er negativ, og grafen som tilsvarer en del b) er en parabel åpner opp siden koeffisienten a er positiv. Du kan endre verdiene for koeffisienten a, b og c og observere grafene innhentet.
• Sett en til null og forklare grafen innhentet. Hvilke begrep i øksen ² + bx + c gir den parabolske formen?
  
  

  Svar

• Gitt funksjonen f (x)
  f (x) = ax ² + bx + c
  
  
• faktor koeffisient ett av vilkårene i x ² og x
  f (x) = a [x ² + (b / a) x] + c
  
  
• legger til og trekker (b/2a) ² i parentes
  f (x) = a [x ² + (b / a) x + (b/2a) ² - (b/2a) ²] + c
  
  
• Vær oppmerksom på at
  x ² + (b / a) x + (b/2a) ²
  
  
• kan skrives som
  [X + (b/2a)] ²
  
  
• Vi nå skrive f som følger
  f (x) = a [x + (b/2a)] ² - a (b/2a) ² + c
  
  
• som kan skrives som
  f (x) = a [x + (b/2a)] ² - (b ² / 4a) + c
  
  
• Dette er standard form av en kvadratisk funksjon med
  h = - b / (2a)
  k = c - b ² / (4a)
  
  

• gitt funksjon
  f (x) =-2x ² + 4x + 1
  
  
• faktor -2 ut
  f (x) = -2 (x ² - 2x) + 1
  
  
• Vi nå deler koeffisienten til x som er -2 etter 2, og som gir -1.
  f (x) = -2 (x ² - 2x + (-1) ² - (-1) ²) + 1
  
  
• legger til og trekker (-1) ² innenfor parenteser
  f (x) = -2 (x ² - 2x + (-1) ²) + 2 + 1
  
  
• gruppe som vilkår og skrive i standard form
  f (x) = -2 (x - 1) ² + 3
  
  
• Ovennevnte gir h = 1 og k = 3.
  
  
• h og k kan også finnes ved hjelp av formler for h-og k innhentet over.
  h = -b/2a = -4 / (2 *- 2) = 1
  
  k = c - b ² / (4a) = 1 - 4 ²/ (4 *- 2) = 3
  
  
• Toppunktet på grafen er (1,3).
  
  

• Gå tilbake til applet-vinduet og sett en til -2, b til 4 og c til 1 (verdiene brukt i eksempelet ovenfor). Kontroller at grafen åpner ned (a <0) og at toppunktet er punktet (1,3), og er høyeste punkt.


• Bruk applet-vinduet og sett en til en, b og c til -2 til 0, f (x) = x ² - 2x. Kontroller at grafen åpner opp (a> 0) og at toppunktet er punktet (1, -1) og er et minimum punkt.

1. f (x) = x ² + 2x - 3
2. g (x) = - x ² + 2x - 1
3. h (x) = - 2x ² + 2x - 2

1. Hvis du vil finne x avskjærer vi løser
   
   x ² + 2x - 3 = 0
   
   diskriminant D = ² til 4 februar * 1 * (-3) = 16
   
   to reelle løsninger:
   x1 = (-2 + sqrt (16)) / (2 * 1) = 1
   og
   x2 = (-2 - sqrt (16)) / (2 * 1) = -3
   
   Grafen til funksjonen i deler a) har to x avskjærer er på punktene (1,0) og (-3,0)
   
   
2. Vi løser-x ² + 2x - 1 = 0
   
   diskriminant D = ² til 4 februar * (-1) * (-1) = 0
   
   en gjentatt konkrete løsninger x1 = -b/2a = -2/-2 = 1
   
   Grafen til funksjonen i del b) har en x snappe på (1,0).
   
   
3. Vi løser-2x ² + 2x - 2 = 0
   
   diskriminant D = ² til 4 februar * (-2) * (-2) = -12
   
   Ingen konkrete løsninger for de ovennevnte ligningen
   
   Ingen x skjæringspunkt for grafen til funksjonen i del c).
   
   

• Gå til applet-vinduet og sett verdiene av a, b og c for hvert av eksemplene i deler a, b og c ovenfor og sjekke diskriminanten og x avskjærer av tilsvarende grafer.
• Bruk applet-vinduet til å finne noen x avskjærer for følgende kvadratiske funksjoner.
  a) f (x) = x ² + x - 2
  b) g (x) = 4x ² + x + 1
  a) h (x) = x ² - 4x + 4
  Bruk den analytiske metoden beskrevet i eksempelet ovenfor for å finne x avskjærer og sammenligne resultatene.
• Bruk applet-vinduet og sett a, b og c til verdier slik at b ² - 4ac <0. Hvor mange x-avskjærer grafen til f (x) har?
• Bruk applet-vinduet og sett a, b og c til verdier slik at b ² - 4ac = 0. Hvor mange x-avskjærer grafen til f (x) har?
• Bruk applet-vinduet og sett a, b og c til verdier slik at b ² - 4ac> 0. Hvor mange x-avskjærer grafen til f (x) har?

Svar

1. f (x) = x ² + 2x - 3
2. g (x) = 4x ² - x + 1
3. h (x) =-x ² + 4x + 4

1. f (0) = -3. Grafen til f har ja snappe ved (0, -3).
   
2. g (0) = 1. Grafen til g har ja snappe på (0,1).
   
3. h (0) = 4. Grafen til h har ja snappe på (0,4).

• Bruk applet-vinduet for å se y avskjære for den kvadratiske funksjoner i eksempelet ovenfor.
• Bruk applet-vinduet for å se y avskjære er på det punktet (0, c) for forskjellige verdier av c.

NESTE

Mer om kvadratiske funksjoner og beslektede emner

• Derivater av kvadratisk Funksjoner : Utforsk kvadratisk funksjon f (x) = ax ² + bx + c og dens avledede grafisk og analytisk.



• Finn Vertex og Fanger i kvadratisk funksjoner - Kalkulator: En applet å løse beregne toppunktet og x og y avskjærer av grafen til en kvadratisk funksjon.



• Tutorial på kvadratisk funksjoner (1).
  
  
• Kvadratiske funksjoner - Problemer (1).
  
  
• grafiske kvadratiske funksjoner .
  
  
• kvadratiske funksjoner i toppunktet form .