Rasjonale funksjoner

En rasjonell funksjon er definert som kvotienten av to polynom funksjoner.

Her er noen eksempler på rasjonale funksjoner:

• g (x) = (x ² + 1) / (x - 1)
• h (x) = (2x + 1) / (x + 3)

Den rasjonale funksjoner å utforsket i denne opplæringen er på formen

Eksempel: Finn domenet til hver funksjon gitt nedenfor.

1. g (x) = (x - 1) / (x - 2)
2. h (x) = (x + 2) / x

Oppløsning

1. For funksjonen g være definert, nevneren x - 2 må være forskjellig fra null eller x ikke lik to. Derfor domenet til g er gitt ved
   (-Uendelig, 2) U (2, + uendelig).
   
   
2. For funksjon h skal defineres, nevneren x må være forskjellig fra null eller x ikke lik 0. Derfor domenet til h er gitt ved
   (-Uendelig, 0) U (0, + uendelig).

Interaktiv opplæring

Your browser is completely ignoring the <APPLET> tag!

1. Klikk på knappen "klikk her for å starte", ovenfor, for å starte appleten og maksimere vinduet innhentet.
   
2. Sett en til en, b til -1, c til 1, og d til -2 for å definere funksjonen g gitt i del a) av eksemplet ovenfor. Kontroller at grafen er usammenhengende ved x = 2 (ingen grafen ved x = 2).
   
3. Sett en til en, b til 2, c til 1, og d til 0 for å definere funksjonen h er gitt i del b) av eksemplet ovenfor. Kontroller at grafen er diskontinuerlig i x = 0 (ingen grafen ved x = 0).

Hva om nuller på telleren og nevneren av rasjonale funksjonen er like?

Eksempel
f (x) = (2x + 2) / (x + 1)
= 2 (x + 1) / (x + 1)
= 2, for x ikke lik -1.

Grafen til funksjonen f er en horisontal linje med et hull (funksjon ikke definert) ved x = -1.

Interaktiv opplæring

1. Gå tilbake til applet-vinduet og sett en til 2, b til 2, c til 1, og d til 1. Kontroller at grafen er at av en horisontal linje. Det er ikke lett å observere hullet siden diskontinuitet (hull) i grafen har den dimensjonen av en piksel som er svært lite å se.
   
2. Definer en rasjonell funksjon med lik nuller i teller og nevner og sjekk at grafen er at av en horisontal linje.
   

La f (x) = 1 / x. f (x) ikke er definert ved x = 0 (divisjon med null er ikke tillatt). Men hva er oppførselen til grafen "close" til null?

I tabellene nedenfor er verdier av funksjonen f som x nærmer seg null fra høyre (x> 0) og som x nærmer seg null fra venstre (x <0).

Vi konstaterer at som x nærmer seg null fra høyre, f (x) tar større verdier. Er det en grense for verdiene av f (x)? Nei, f (x) øker uten bundet.

Vi ser også at som x nærmer seg null fra venstre, f (x) tar mindre verdier. Er det en grense for verdiene av f (x)? Nei, f (x) reduseres uten bundet. Den vertikale linjen x = 0 kalles den vertikale asymptoten, og det er gitt ved null i nevneren.

Interaktiv opplæring

1. Angi parametere en til 0, b 1, c til 1, og d til 0 (f (x) = 1 / x). Observere atferden til grafen til venstre og til høyre for x = 0.
   
2. Angi parametere en til 0, b 1, c til 1, og d til ulike verdier (0, 1, -1 ,.... Observere atferden til grafen til venstre og til høyre for x = d.

La f (x) = 1 / x. Hva er oppførselen til grafen til f som | x | blir veldig store?

Tales under viser verdiene av f når x blir veldig stor, og når x blir veldig små.

Som x tar mindre verdier eller som x tar større verdier, f (x) tar verdier nær null, og grafen nærmer seg linjen horisontale linjen y = 0. Denne linjen kalles den horisontale asymptoten.

Interaktiv opplæring

1. Angi parametere en til 0, b 1, c til 1, og d til 0 (f (x) = 1 / x). Observere atferden til grafen som x tar store verdier (til høyre) og som x tar mindre verdier (til venstre). Merk at grafen kommer nærmere til x-aksen (y = 0). Zoom inn eller ut om nødvendig.
   
2. Angi parametere en til en, b til 1, c til 1, og d til 2. Hva er ligningen for den horisontale asymptoten? Endre a og b bare, sett dem til ulike ikke null verdier og legg merke til at ligningen for den horisontale asymptoten er gitt ved y = a / c.

Klikk på "Klikk her for å starte" nedenfor for å starte appleten og generere grafer av rasjonale funksjoner på formen

Your browser is completely ignoring the <APPLET> tag!

Mer om temaer knyttet til rasjonale funksjoner

tutorial på rasjonale funksjoner .

Grafer av rasjonale funksjoner

tutorial på grafer av rasjonale funksjoner

selvtest på grafer av rasjonale funksjoner .