Regra de multiplicação para probabilidades de eventos independentes

Exemplos sobre o uso da regra de multiplicação para encontrar a probabilidade de ocorrência de dois ou mais eventos independentes são apresentados juntamente com soluções detalhadas.

Eventos Independentes

Nas probabilidades, dois eventos são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
Exemplo 1
Os seguintes eventos A e B são independentes.

1.   A = "jogue um dado e obtenha \( 1 \)" , B = "jogue uma moeda e obtenha uma coroa".
2.   A = "comprar uma carta de um baralho e obter um Rei", recolocá-la no baralho, B = "comprar outra carta e obter uma Rainha"
3.   A = "jogue um dado e obtenha um \( 4 \)" , B = "jogue o mesmo dado (ou outro) e obtenha um "6"
4.   A = "jogue uma moeda e obtenha cara", B = jogue a mesma moeda (ou outra) e obtenha coroa"
   Uma jarra tem 3 bolas azuis, 2 bolas brancas e 5 bolas vermelhas
5.   A = Escolha uma bola aleatoriamente do pote e pegue uma bola vermelha, coloque-a de volta no pote, B = Escolha uma bola aleatoriamente do pote e pegue uma bola branca

1.   C = “compre uma carta de um baralho e ganhe um Rei", D = “compre uma segunda carta do mesmo baralho e ganhe uma Dama".
   Um pote contém 3 bolas azuis, 2 bolas brancas e 3 bolas vermelhas
2.   C = "Pegue uma bola aleatoriamente do pote e pegue uma bola vermelha", D = "Escolha uma segunda bola aleatoriamente do mesmo pote e pegue uma bola branca".

Exemplos com soluções detalhadas

Exemplo 2 Uma moeda é lançada duas vezes. Qual é a probabilidade de obter coroa no primeiro lançamento e coroa no segundo lançamento?

Solução para o Exemplo 2
Dois métodos para responder à questão do exemplo 2 são apresentados para mostrar a vantagem de usar a regra do produto dada acima.
Método 1: Usando o espaço de amostra
O espaço amostral S do experimento de lançar uma moeda duas vezes é dado pelo diagrama em árvore mostrado abaixo
O primeiro lançamento dá dois resultados possíveis: T ou H (em azul)
O segundo lançamento dá dois resultados possíveis: T ou H (em vermelho)
A partir do diagrama de árvore, podemos deduzir o espaço amostral \( S \) definido da seguinte forma
            \( S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T,T) \} \)
com \( n(S) = 4 \) onde \( n(S) \) é o número de elementos no conjunto \( S \)

O evento \( E \) : "jogar uma moeda duas vezes e obter duas coroas" como um conjunto é dado por
            \( E = \{(T,T) \} \)
com \( n(E) = 1 \) onde \( n(E) \) é o número de elementos no conjunto \( E \)
Use a fórmula de probabilidade clássica para encontrar \( P(E) \) como:

            \( P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{1}{4}\)

Método 2: Use a regra do produto de dois eventos independentes
O evento \( E \) "lançar uma moeda duas vezes e obter coroa em cada lançamento" pode ser considerado como dois eventos
Evento \( A \) "jogue uma moeda uma vez e obtenha coroa" e evento \( B \) "jogue a moeda uma segunda vez e obtenha coroa"
com as probabilidades de cada evento \( A \) e \(B \) dadas por

            \( P(A) = \dfrac{1}{2} \quad\) e \( \quad P(B) = \dfrac{1}{2} \)

A ocorrência do evento E pode agora ser considerada como a ocorrência dos eventos A e B. Os eventos A e B são independentes e, portanto, a regra do produto pode ser usada da seguinte forma

            \( P(E) = P( A \; e \; B) = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{ 1}{2} = \dfrac{1}{4} \)

NOTA Se você lançar uma moeda um grande número de vezes, o espaço amostral terá um grande número de elementos e, portanto, o método 2 é muito mais prático de usar do que o método 1, onde você tem um grande número de resultados.

Apresentamos agora mais exemplos e questões sobre como a regra do produto de eventos independentes é usada para resolver questões de probabilidade.

Exemplo 3
Uma moeda é lançada e um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obter cara e \( 4 \)?

Solução para o Exemplo 3
Temos dois eventos independentes a considerar:
Evento A "jogue uma moeda e obtenha cara" e evento B "jogue um dado e obtenha \( 4 \)"
No lançamento de uma moeda, a probabilidade de sair cara é
            \( P(A) = \dfrac{1}{2} \)
No lançamento de um dado, a probabilidade de obter \( 4 \) é
            \( P(B) = \dfrac{1}{6} \)
            \( P ( \) " obtendo uma cabeça e um \( 4 \) " \( ) = P( A \; e \; B) = P( A \cap B) = P(A) \cdot P(B ) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12} \)

Exemplo 4
Uma jarra contém 3 bolas azuis, 2 bolas brancas e 5 bolas vermelhas. Uma bola é selecionada aleatoriamente e a cor anotada é recolocada dentro da jarra. Uma segunda bola é selecionada com sua cor anotada e recolocada dentro da jarra. Uma terceira bola é selecionada e sua cor anotada.
Qual é a probabilidade de
a) selecionando 3 bolas vermelhas
b) selecionar uma bola azul, depois uma bola branca e depois uma bola azul
c) selecionar uma bola vermelha, depois uma bola branca e depois uma bola azul

Solução para o Exemplo 4

a)
Deixe o evento A "selecionar uma bola vermelha pela primeira vez",
evento B "selecione uma bola vermelha pela segunda vez"
e evento C "selecione uma bola vermelha pela terceira vez"

Todos os três eventos A, B e C são independentes porque a bola selecionada é recolocada na jarra.
O número total de bolas é 10 e há 5 bolas vermelhas.
Vamos agora calcular a probabilidade de selecionar uma bola vermelha.
Existem 5 bolas vermelhas de um total de 10, portanto
\( P(A) \) = \( P(B) \) = \( P(C) \) =\( P(vermelho) = \dfrac{5}{10} \\ = \dfrac{1} {2} \)
Usamos uma fórmula estendida para três eventos independentes
\( P( \; A \; e \; B \; e \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \\\\ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8} \)

b)
Deixe o evento A "selecionar uma bola azul pela primeira vez",
evento B "selecione uma bola branca pela segunda vez"
e evento C "selecione uma bola azul pela terceira vez"

\( P(A) = P(azul) = \dfrac{3}{10} \quad , \quad P(B) = P(branco) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{ 5} \quad , \quad P(C) = P(azul) = \dfrac{3}{10}\)

\( P( A \; e \; B \; e \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \\\\ = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{3}{10} \dfrac{3}{10} \\\\ = \dfrac{9}{5000} \)

c)
Deixe o evento A "selecionar uma bola vermelha pela primeira vez",
evento B "selecione uma bola branca pela segunda vez"
e evento C "selecione uma bola azul pela terceira vez"

\( P(A) = P(vermelho) = 1/2 \)
\( P(B) = P(branco) = 1/5 \)
\( P(C) = P(azul) = 3/10 \)
\( P( A \; e \; B \; e \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \\\\ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{3}{10} \\\\ = \dfrac{3}{100} \)

Exemplo 5
Uma carta é retirada de um baralho de 52 cartas e depois recolocada e uma segunda carta é retirada. Encontre a probabilidade de obter um “2" e depois um “Rei".

Solução para o Exemplo 5
Temos dois eventos independentes a considerar:
Evento A "compre uma carta e ganhe um 2" e evento B "compre uma carta e ganhe um Rei"
Como a placa foi substituída, os dois eventos A e B são independentes.
Vamos primeiro encontrar \( P(A) \) e \( P(B) \).



\( P(A) = 4/52 = 1/13 \)
\( P(B) = 4/52 = 1/13 \)
\( P (A \; e \; B) = P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{13} \cdot \dfrac{1}{13} = \dfrac{1}{169 }\)

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