Definición y ecuación de una elipse con eje vertical
Una elipse es el conjunto de todos los puntos \( M(x,y)\) en un plano tal que la suma de las distancias desde \( M \) a los puntos fijos \( F_1 \) y \( F_2 \) llamados focos (plural de foco) es igual a una constante.
\( \overline{MF_1} + \overline{MF_2} = \sqrt{(x+c)^2+y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2 a \)
Para \( a \ge b \ge 0 \), eliminando las raíces cuadradas elevando al cuadrado y simplificando usando la relación \( a^2 = b^2 + c^2\), podemos terminar con la ecuación estándar de un elispe dada por:
\( \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \)
El ancho de la elipse es \( 2 a \) y la altura es \( 2 b \)
El punto \(O(0,0)\) es el centro de la elipse.
Los puntos \( V_1(a,0) \) y \( V_2(-a,0) \) se llaman vértices de la elipse.
Los focos están en \( F_1(c,0) \) y \( F_2(-c,0) \)
Ejemplo 1
Una elipse centrada en \( (0,0) \) tiene x intercepta en \( (7,0) \) y \( ( -7 ,0) \) e y intercepta en \( (0,4) \) y \( ( 0,-4) \). Encuentra la ecuación de la elipse y los focos \( F_1 \) y \( F_2 \)
Solución al ejemplo 1
La ecuación de una elipse cuyo centro está en el origen está dada por
\( \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \) , \( a \gt 0 \) y \( b \gt 0 \)
Encuentre el eje x estableciendo y = 0 en la ecuación anterior
\( \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{0^2}{b^2} = 1 \)
Simplificar
\( \dfrac{x^2}{a^2} = 1 \)
Solución para \( x \)
\( x = a \) y \( x = - a \)
Las intersecciones de x están dadas por \( (7,0) \) y \( ( -7 ,0) \) lo que da \( a = 7 \).
Encuentre el eje y estableciendo x = 0 en la ecuación general dada arriba
\( \dfrac{0^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \)
Simplificar
\( \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \)
Resuelva para \( y \)
\( y = b \) y \( y = - b \)
Las intersecciones en y están dadas por \( (0,4) \) y \( ( 0 , -4) \) lo que da \( b = 4 \).
Para encontrar los focos, primero necesitamos encontrar el parámetro \( c \) que está relacionado con \( a \) y \( b \) por
\( a^2 = b^2 + c^2\)
Sustituye \( a \) y \( b \) por sus valores y resuelve para \(c \)
\( 7^2 = 4^2 + c^2\)
\( c = \sqrt{49 - 16} = \sqrt{33} \)
Las coordenadas de los dos focos F1 y F2 están dadas por
\( F_1(c,0) = F_1(\sqrt{33} , 0) \) y \( F_1( - c,0) = F_1( - \sqrt{33} , 0) \)
Ecuación general de una elipse
Podemos generalizar y escribir la ecuación de una elipse cuyo centro está en \( O(h,k) \) de la siguiente manera
con focos en \( F_1(c+h,k) \) y \( F_2(-c+h,k) \) y vértices en \( V_1(a+h,k) \) y \( V_2(- a+h,k) \).
Ejemplo 2
Encuentra el centro, los focos y los vértices de la elipse dada por la ecuación \( (x - 1)^2 + 4(y-2)^2 = 16 \) luego usa una calculadora gráfica para graficar la ecuación dada y verifica tus respuestas .
Solución al ejemplo 2
Reescribe la ecuación dada en forma estándar dividiendo todos los términos por 16.
\( \dfrac{(x - 1)^2}{16} + \dfrac{4(y-2)^2}{16} = \dfrac{16}{16} \) .
Simplifica y escribe los denominadores de los términos de la izquierda como cuadrados.
\( \dfrac{(x - 1)^2}{4^2} + \dfrac{(y-2)^2}{2^2} = 1 \)
Compare la ecuación anterior de una elipse en estándar con la ecuación general \( \dfrac{(x-h)^2}{a^2} + \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \) y identifique los parámetros \( a, b, h\) y \( k \).
\(a = 4, b = 2, h = 1\) y \(k = 2 \)
El centro está en el punto \( O(h,k) = O(1,2) \)
Encuentre el parámetro \( c \) usando la relación \( a^2 = b^2 + c^2\)
\(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16 - 4} = 2 \sqrt{3} \)
Los focos están en los puntos.
\( F_1(c+h,k) = F_1(2 \sqrt{3}+1,2) \) y \( F_2(-c+h,k) = F_2(-2 \sqrt{3}+1 ,2) \)
Los vértices están en los puntos.
\( V_1(a+h,k) = V_1(5,2) \) y \( V_2(-a+h,k) = V_2(-3,2) \)
La gráfica de la ecuación dada \( (x - 1)^2 + 4(y-2)^2 = 16 \) se muestra a continuación y es la de una elipse con centro en \(O(1,2)\) y vértices en \(V_1(5,2) \) y \(V_2(-3,2) \) como se calculó anteriormente.
Tutorial interactivo sobre la ecuación de una elipse
Ahora se presenta una aplicación para explorar la ecuación de una parábola y sus propiedades. La ecuación utilizada es la ecuación estándar que tiene la forma
La investigación se realiza cambiando los parámetros \( a, b, h \) y \( k \) incluidos en la ecuación anterior. Los valores predeterminados, al abrir esta página, son: \( a = 4, b = 2, h = 2 \) y \( k = 3 \).
Algunas actividades se enumeran a continuación, pero se pueden generar muchas otras actividades.
Haga clic en el botón "Plot Equation" para comenzar.
Pase el cursor del mouse sobre el gráfico del punto trazado para leer las coordenadas.
Haga clic en el botón encima de "Plot Equation". Puede pasar el cursor de mousse sobre la gráfica de la elipse y los puntos para leer las coordenadas. También puede colocar el cursor mousse en la parte superior derecha del gráfico para tener las opciones de hacer zoom, descargar el gráfico como un archivo png,...
1 - Seleccione un punto M en la gráfica de la elipse, pase la mousse sobre él y lea las coordenadas. Lea las coordenadas de F1 y F2 (leyenda de la derecha) o coloque el mouse sobre la mousse y lea las coordenadas y muestre que la suma de las distancias \( \overline{MF_1} + \overline{MF_2} \) está cerca de \( 2a\) .
Puedes realizar la actividad anterior para diferentes valores de \( a, b, h\) y \( k \) y tantos puntos como sean necesarios para comprender mejor la definición de una elipse.
2 - Usa los valores de \( a \) y \( b \) para encontrar \( c \) usando la relación entre \( a, b\) y \( c \) dada por \( a^2 = b ^2 + c^2\).
Utilice los resultados anteriores para encontrar las coordenadas de \( F_1, F_2, V_1 \) y \( V_2 \) y verifique los resultados gráficamente.
3 - Establezca \( a, b, h\) y \( k \) en algunos valores. Encuentre las intersecciones xey y verifique sus resultados gráficamente.
4 - Ejercicio:
Demuestre mediante cálculos algebraicos que la siguiente ecuación \( \dfrac{(x + 2)^2}{5} + 5(y-3)^2 = 5 \) es la de una elipse y encuentre el centro, focos y vértices de la elipse dada por la ecuación, luego usa la aplicación para graficarla y verificar tus respuestas.
Más referencias y enlaces a temas relacionados con la ecuación de la elipse
