Un tutorial sobre cómo hallar los puntos de intersección de una circunferencia y una elipse dadas por sus ecuaciones.
Necesitamos resolver el sistema de ecuaciones dado arriba.
Primero multiplicamos todos los términos de la segunda ecuación por \( - 4 \) y simplificamos para obtener:
\( x^2 + y^2 = 4 \)
\( -x^2 - \left(\frac{4}{9}\right) \left(y - 1\right)^2 = -4 \)
Ahora sumamos las dos ecuaciones de arriba, lado a lado, para obtener una ecuación lineal
\( y^2 - \left(\frac{4}{9}\right) \left(y - 1\right)^2 = 0 \)
Que puede ser escrito como
\( 5y^2 + 8y - 4 = 0 \)
Resolvemos la ecuación cuadrática para y y obtenemos dos soluciones
\( y = -2 \) y \( \frac{2}{5} \)
Ahora sustituimos el valor de \( y = -2 \) ya obtenido en la ecuación \( x^2 + y^2 = 4 \) y resolvemos para x de la siguiente manera
\( x^2 + (-2)^2 = 4 \)
\( x = 0 \)
Ahora sustituimos el valor de \( y = \frac{2}{5} \) ya obtenido en la ecuación \( x^2 + y^2 = 4 \) y resolvemos para x de la siguiente manera
\( x^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 4 \)
\( x = \frac{4\sqrt{6}}{5} \approx 1.96 \) y \( x = -\frac{4\sqrt{6}}{5} \approx -1.96 \)
Los puntos de intersección de la elipse y la circunferencia son
\( (-2 , 0) \); \( \left(-\frac{4\sqrt{6}}{5} , \frac{2}{5}\right) \); \( \left(\frac{4\sqrt{6}}{5} , \frac{2}{5}\right) \)
A continuación se muestra la gráfica de una circunferencia y una elipse y sus puntos de intersección.