Encuentra el rango de funciones seno; ejemplos y problemas correspondientes con sus respuestas al final de la página.
Análisis Gráfico del Rango de Funciones Seno
El rango de una función \( y = f(x) \) es el conjunto de valores \( y \) que toma para todos los valores de \( x \) dentro del dominio de \( f \).
¿Cuál es el rango de \( y = f(x) = \sin(x) \)?
El dominio de \( f \) anterior es el conjunto de todos los valores de \( x \) en el intervalo \( (-\infty, +\infty) \).
A medida que \( x \) toma valores desde \( -\infty \) hasta \( +\infty \), \( \sin(x) \) toma todos los valores entre -1 y 1 como se muestra en el círculo unitario a continuación. Por lo tanto,
\( -1 \leq \sin(x) \leq 1 \) o \( -1 \leq y \leq 1 \)
En general, el rango de cualquier función seno de la forma \( y = \sin (bx + c) \) está dado por
\( -1 \leq \sin(bx + c) \leq 1 \) o \( -1 \leq y \leq 1 \)
Fig1. - Rango de la Función Seno.
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1:
Encuentra el rango de la función \( f \)
definida por
\( f(x) = -\sin (x) \)
Solución al Ejemplo 1
Comienza con el rango de la función seno básica (ver discusión anterior) y escribe
\( -1 \leq \sin(x) \leq 1 \)
Multiplica todos los términos de la desigualdad anterior por -1 y cambia los símbolos de desigualdad para obtener
\( 1 \geq \sin(x) \geq -1 \)
que también se puede escribir como
\( -1 \leq -\sin(x) \leq 1 \)
Por lo tanto, el rango de \( -\sin(x) \) también está dado por el intervalo
\[ [ -1 , 1 ] \]
Problema Correspondiente 1:
Encuentra el rango de
la función \( f \) definida por
\( f(x) = -\sin (2 x) \)
Ejemplo 2
Encuentra el rango de la función \( f \)
definida por
\( f(x) = 2\sin (-3 x - \dfrac{\pi}{6}) \)
Solución al Ejemplo 2
El rango de \( \sin (-3 x - \dfrac{\pi}{6}) \) está dado por
\( -1 \leq \sin (-3 x - \dfrac{\pi}{6}) \leq 1 \)
Multiplica todos los términos de la desigualdad anterior por 2 para obtener la desigualdad
\( -2 \leq 2\sin (-3 x - \dfrac{\pi}{6}) \leq 2 \)
El rango de la función \( f \) dada está escrito arriba en forma de desigualdad y también se puede escribir en forma de intervalo de la siguiente manera
\[ [ -2 , 2 ] \]
Problema Correspondiente 2:
Encuentra el rango de
la función \( f \) definida por
Encuentra el rango de la función \( f \)
definida por
\( f(x) = 0.1\sin (\dfrac{x}{\pi} + \pi) - 2 \)
Solución al Ejemplo 3
El rango de \( \sin (\dfrac{x}{\pi} + \pi) \) está dado por
\( -1 \leq \sin (\dfrac{x}{\pi} + \pi) \leq 1 \)
Multiplica todos los términos de la desigualdad por 0.1 para obtener
\( -0.1 \leq 0.1\sin (\dfrac{x}{\pi} + \pi) \leq 0.1 \)
Suma -2 a todos los términos de la desigualdad anterior para obtener
\( -2.1 \leq 0.1\sin (\dfrac{x}{\pi} + \pi) -2 \leq -1.9 \)
El rango de valores de \( 0.1\sin (\dfrac{x}{\pi} + \pi) -2 \) también se puede escribir en forma de intervalo de la siguiente manera
\[ [ -2.1 \; , \; -1.9 ] \]
Problema Correspondiente 3:
Encuentra el rango de
la función \( f \) definida por
