Este es un tutorial en la resoluci�n de ecuaciones con valor absoluto. Soluciones y explicaciones detalladas est�n incluidos.
Ejemplo 1: Resolver la ecuaci�n
| X + 6 | = 7
Soluci�n al Ejemplo 1:
-
Si | x + 6 | = 7, entonces
a) x + 6 = 7 o b) x + 6 = -7
-
Resolver la ecuaci�n a)
x + 6 = 7 x = 1
-
Resolver la ecuaci�n b)
x + 6 = -7 x = -13
Soluciones de Check:
-
soluci�n x = 1
Lado izquierdo de la ecuaci�n para x = 1. |1 + 6| = 7 Lado derecho de la ecuaci�n para x = 1. 7
-
x = -13
Lado izquierdo de la ecuaci�n para x = 1. | -13 + 6 | = 7 Lado derecho de la ecuaci�n para x = 1. 7
Las soluciones de la ecuaci�n dada es x = 1 y x = -13
Igualados Ejercicio 1: Resolver la ecuaci�n
|-x - 8 | = 10
Respuestas
Ejemplo 2: Resolver la ecuaci�n
-2 | X / 2 + 3 | - 4 = -10
Soluci�n al Ejemplo 2:
-
Teniendo en cuenta
-2 | X / 2 + 3 | - 4 = -10
-
En primer lugar, escribir la ecuaci�n en la forma | A | = B. Suma 4 a ambos lados y el grupo de t�rminos similares
-2 | X / 2 + 3 | = -6
-
Divide ambos lados por -2
|x/2 +3| = 3
-
Procedemos ahora como en el ejemplo 1, la ecuaci�n
| x / 2 + 3 | = 3 da dos ecuaciones. a) x / 2 + 3 = 3 o b) x / 2 + 3 = -3
-
Resolver la ecuaci�n a)
x / 2 + 3 = 3
-
para obtener
x = 0
-
Resolver la ecuaci�n b)
x / 2 + 3 = -3
-
para obtener
x = -12
Soluciones de Check:
-
x = 0
Lado izquierdo de la ecuaci�n para x = 0. -2 | x / 2 + 3 | - 4 = -2 | 3 | - 4 = -10 Lado derecho de la ecuaci�n para x = 1. -10
-
x = -12
Lado izquierdo de la ecuaci�n para x = -12. -2 | X / 2 + 3 | - 4 = -2 | -12 / 2 + 3 | - 4 = -2 | -6 + 3 | - 4 = -2 (3) - 4 = -10 Lado derecho de la ecuaci�n para x = -12. -10
Las soluciones de la ecuaci�n dada es x = 0 y x = -12
Igualados Ejercicio 2: Resolver la ecuaci�n
4 | x + 2 | - 30 = -10
Respuestas
Ejemplo 3: Resolver la ecuaci�n
| 2x - 2 | = x + 1
Soluci�n al Ejemplo 3:
-
Si 2x - 2> = 0, que es equivalente a x> = 1, entonces | 2x - 2 | = 2x - 2 y la ecuaci�n dada se convierte en
2x - 2 = x + 1
-
A�adir 2 - x a ambos lados
x = 3
- Puesto que x = 3 satisface la condici�n x> = 1, es una soluci�n.
-
Si 2x - 2 <0, que es equivalente a x <1, entonces | 2x - 2 | = - (2x - 2) y la ecuaci�n dada se convierte en
- (2x - 2) = x + 1
-
Despejar x para obtener
x = 1/3
- Puesto que x = 1 / 3 satisface la condici�n x <1, es una soluci�n.
Soluciones de Check
-
x >= 3
Lado izquierdo de la ecuaci�n para x = 3. | 2x - 2 | = | 2 * 3 - 2 | = 4 Lado derecho de la ecuaci�n para x = 3. x + 1 3 + 1 = 4
-
x = 1/3
Lado izquierdo de la ecuaci�n para x = 1 / 3. | 2x - 2 | = | 2 * (1 / 3) - 2 | = 4 / 3 Lado derecho de la ecuaci�n para x = 1 / 3. x + 1 = 4 / 3
Las soluciones de la ecuaci�n dada es x = 3 y x = 1 / 3
Igualados Ejercicio 3: Resolver la ecuaci�n
- 4 | x + 2 | = x - 8
Respuestas
Ejemplo 4: Resolver la ecuaci�n
| x 2 - 4 | = x + 2
Soluci�n al Ejemplo 3:
-
Si x 2 - 4> = 0, � x 2 >= 4, entonces | x 2 - 4 | = x 2 - 4 y la ecuaci�n dada se convierte en
x 2 - 4 = x + 2
-
A�adir - (x + 2) a ambos lados
x 2 - 4 - (x + 2) = 0
-
Factor de la expresi�n a la izquierda
(x - 2) (x + 2) - (x + 2) = 0 (x + 2) (x - 2 -1) = 0 (x + 2) (x - 3) = 0
-
Usando el teorema de los factores, podemos escribir dos ecuaciones simples
x + 2 = 0 o x - 3 = 0
-
Resolver las ecuaciones anteriores para x para encontrar dos valores de x que hacen que el lado izquierdo de la ecuaci�n igual a cero.
x = -2 y x = 3.
-
Ambos valores satisfacen la condici�n x 2> = 4 y soluciones a la ecuaci�n dada.
x = -2 y x = 3.
-
Si x 2 - 4 <0, o x 2 <4, entonces | x 2 - 4 | = - (x 2 - 4) y la ecuaci�n que se hace.
- (x 2 - 4) = x + 2 - (x 2 - 4) - (x + 2) = 0
-
Factor de la expresi�n a la izquierda.
- (x - 2) (x + 2) - (x + 2) = 0 (x - 2) (x + 2) + (x + 2) = 0 (x - 2) (x + 2) + (x + 2) = 0 (x + 2) (x - 2 + 1) = 0 (x + 2) (x - 1) = 0
-
Dos valores que el lado izquierdo de la ecuaci�n anterior es igual a cero
x = -2 y x = 1.
-
S�lo x = 1 satisface la condici�n x 2 < 4
Soluciones de Check:
-
x = -2
Lado derecho de la ecuaci�n = | x 2 - 4 | = | (-2) 2 - 4 | = 0 Lado izquierdo de la ecuaci�n y = x + 2 = -2 + 2 = 0
-
x = 3 lado izquierdo de la ecuaci�n y = | x 2 - 4 |
= | 3 2 - 4 | = | 5 | = 5 Lado derecho de la ecuaci�n y = x + 2 = 3 + 2 = 5
-
x = 1
Lado izquierdo de la ecuaci�n y = | x 2 - 4 | = | 1 2 - 4 | = | - 3 | = 3 lateral derecha de la ecuaci�n y = x + 2 = 1 + 2 = 3
Conclusi�n
Las soluciones de la ecuaci�n dada es x = -2, x = 1 y x = 3.
Igualados Ejercicio 4: Resolver la ecuaci�n
| x 2 - 16 | = x - 4
Respuestas
Ejercicios. (V�anse las respuestas a continuaci�n) Resolver el valor absoluto de las siguientes ecuaciones a) | x - 4 | = 9 b) | x 2 + 4 | = 5 c) | x 2 - 9 | = x + 3 d) | x + 1 | = x - 3 e) |-x | = 2
Por encima de las respuestas a los ejercicios. a) -5, 13 b) -1, 1 c) -3, 2, 4 d) no hay soluciones reales e) -2, 2
M�s referencias y enlaces sobre la forma de resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades.
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