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Solución de ecuaciones cuadráticas discriminantes Usando (1)

Este es un tutorial sobre el uso de la discriminante y la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones de segundo grado. También se analiza la relación entre el número de soluciones del valor del discriminante. Soluciones y explicaciones detalladas están incluidos. Ejercicios con respuestas están en la parte inferior de esta página.

Revisa
Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación que se puede escribir en la forma


ax 2 + bx + c = 0

donde a, b y c son constantes con una no es igual a cero.

Hay varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. En este tutorial se utiliza el de las fórmulas de segundo grado y el discriminante.
Las soluciones de la ecuación anterior están dados por las fórmulas de segundo grado.

x 1 = [-b + sqrt (b 2 - 4ac)] / (2a)
y
x 2 = [-b - sqrt (b 2 - 4ac)] / (2a)

El término b 2 - 4ac se llama discriminante y proporciona información importante sobre el número y la naturaleza de las soluciones a la ecuación de segundo grado a resolver. Tres casos son posibles:
  1. Si D> 0, la ecuación tiene 2 soluciones reales. (véase el ejemplo 1 más abajo)
  2. Si D = 0, la ecuación tiene 1 solución real. (véase el ejemplo 2 más abajo)
  3. Si D <0, la ecuación tiene 2 soluciones conjugadas imaginario. (véase el ejemplo 3 más adelante)

Ejemplo 1: Encuentre todas las soluciones de la ecuación cuadrática a continuación.


x2 + 3x = 4

Solución al Ejemplo 1:

  • Teniendo en cuenta
    x2 + 3x = 4

  • Vuelva a escribir la ecuación dada con su mandato derecho igual a cero.
    x 2 + 3x - 4 = 0

  • Encuentra el discriminante D = b 2 - 4ac
    D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 (1) (-4) = 25

  • Desde el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales, es dado por.
    x 1 = [-3 + sqrt (25)] / (2 * 1) = [-3 + 5] / 2 = 1

    x 2 = [-3 - sqrt (25)] / (2 * 1) = [-3 - 5] / 2 = -4

Soluciones Check

  1. x = 1
    El lado izquierdo de la ecuación y = x 2 + 3x = 1 2 + 3 (1) = 1 + 3 = 4
    El lado derecho de la ecuación y = 4.

  2. x = -4
    El lado izquierdo de la ecuación y = (-4) 2 + 3 (-4) = 16 - 12 = 4
    El lado derecho de la ecuación y = 4.

Conclusión: Las soluciones de la ecuación dada es de 1 y -4.

Igualados Ejercicio 1: Encuentre todas las soluciones de la ecuación cuadrática a continuación.


x 2 - 3 x + 2 = 0

Respuesta.


Ejemplo 2: Encuentre todas las soluciones de la ecuación cuadrática


x 2 / 3 + 3 = 2x

Solución al Ejemplo 2:

  • Teniendo en cuenta
    x 2 / 3 + 3 = 2x

  • Eliminar el denominador multiplicando todos los términos de la ecuación por 3.
    3 [x 2 / 3 + 3] = 3 * 2x

  • Simplificar y volver a escribir la ecuación con el término derecho igual a cero.
    x 2 - 6x + 9 = 0

  • Usar la fórmula cuadrática. El discriminante D está dada por
    D = b 2 - 4ac
    = (-6) 2 - 4 (1) (9) = 0

  • Desde el discriminante es igual a cero, las dos fórmulas da las dos soluciones de la ecuación cuadrática convertido en uno x = -b/2a y la ecuación tiene una solución.
    x =-b / 2a = - (-6) / 2 * 1 = 3

Soluciones Check

  1. x = 3
    El lado izquierdo de la ecuación y = x 2 / 3 + 3 = 3 2 / 3 + 3 = 6
    El lado derecho de la ecuación y = 2x = 2 (3) = 6.

Conclusión
Hay una verdadera solución a la ecuación dada: x = 3.

Igualados Ejercicio 2. Encuentre todas las soluciones de la ecuación cuadrática.


x 2 / 2 = - 8 - 4x

Respuesta.


Ejemplo 3: Encuentre todas las soluciones de la ecuación cuadrática


x 2 - 4x + 13 = 0

Solución al Ejemplo 3:

  • Teniendo en cuenta
    x 2 - 4x + 13 = 0

  • El discriminante D está dada por
    D = b 2 - 4ac
    = (-4) 2 - 4 (1) (13) = -36


  • Desde el discriminante es negativo, la raíz cuadrada del discriminante es un número imaginario puro.
    sqrt (D) = sqrt (-36) = sqrt (-1) sqrt (36) = 6i
    donde i es la unidad imaginaria se define como srqt i = (-1).

  • Utilice las fórmulas de segundo grado para encontrar las dos soluciones.
    x 1 = (4 + 6i)) / (2 * 1) = 2 + 3i
    x 2 = (4 - 6i) / (2 * 1) = 2 - 3i

Soluciones Check

  1. x + 2 = 2^
    El lado izquierdo de la ecuación y = x 2 - 4x + 13 = (2 + 3i) 2 - 4 (2 + 3i) + 13
    = 4 - 9 + 12i - 8 - 12i + 13 = 0
    El lado derecho de la ecuación = 0

  2. x + 2 = 2^
    El lado izquierdo de la ecuación y = x 2 - 4x + 13 = (2 - 3i) 2 - 4 (2 - 3i) + 13
    = 4 - 9 - 12i - 8 + 12i + 13 = 0
    El lado derecho de la ecuación = 0

Conclusión
La ecuación dada tiene dos soluciones imaginarias 2 + 3i y 2 - 3i conjugada de la otra.

Igualados Ejercicio 3. Encuentre todas las soluciones de la ecuación cuadrática.


x 2 - 4x + 5 = 0

Respuesta.

Ejercicios. (Véanse las respuestas a continuación)

Resolver las ecuaciones cuadráticas siguientes

a)-x 2 + 2x = -3

b) (1 / 2) x 2 + (1 / 3) x = 1 / 6

c) x 2 + 9 = 0

d) - 0,2 x 2 + 2,0 x = + 5,2

e) [3 x 2 + 2x] / 2 = 2

Por encima de las respuestas a los ejercicios.

a) -1, 3

b) -1, 1 / 3

c) 3, i, -3 i

d) 5 - i, 5 + i

e) sqrt (13) / 3 - 1 / 3, - sqrt (13) / 3 - 1 / 3

Más referencias y enlaces a ecuaciones cuadráticas.


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Actualizado: 25 de noviembre de 2007 (A Dendane)