Ecuaciones Cuadráticas - Problemas (1)
Usando ecuaciones cuadráticas para resolver problemas, con soluciones detalladas y explicaciones.
Problemas con Soluciones
Problema 1:
Un triángulo rectángulo tiene un perímetro de 24 cm y una hipotenusa de 10 cm. Encuentra los catetos \(x\) y \(y\), \(x > y\), que forman el ángulo recto del triángulo.
Solución al Problema 1:
- Dibuja un triángulo con la información proporcionada:
- El perímetro del triángulo es 24, por lo tanto:
\[
x + y + 10 = 24
\]
- Usa el teorema de Pitágoras para un triángulo rectángulo:
\[
x^2 + y^2 = 10^2
\]
- Resuelve la ecuación del perímetro para \(y\):
\[
y = 14 - x
\]
- Sustituye \(y\) en la ecuación de Pitágoras:
\[
x^2 + (14 - x)^2 = 10^2
\]
- Expande y simplifica:
\[
x^2 + (196 - 28x + x^2) = 100 \implies 2x^2 - 28x + 96 = 0
\]
- Divide entre 2:
\[
x^2 - 14x + 48 = 0
\]
- Discriminante:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4(1)(48) = 196 - 192 = 4
\]
- Soluciones con la fórmula cuadrática:
\[
x_1 = \frac{14 + 2}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{14 - 2}{2} = 6
\]
- Valores correspondientes de \(y\):
\[
y_1 = 14 - 8 = 6, \quad y_2 = 14 - 6 = 8
\]
- Dado que \(x > y\), los catetos son:
\[
x = 8 \text{ cm}, \quad y = 6 \text{ cm}
\]
- Verifica la solución:
\[
\text{Hipotenusa } h = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{64 + 36} = 10 \text{ cm}
\]
\[
\text{Perímetro} = x + y + h = 8 + 6 + 10 = 24 \text{ cm}
\]
Problema Complementario 1:
Un rectángulo tiene un perímetro de 60 m y un área de 200 m². Encuentra el largo \(x\) y el ancho \(y\), \(x > y\).
Soluciones a Problemas Complementarios
Problema 2:
La suma de los cuadrados de dos números reales consecutivos es 61. Encuentra los números.
Solución al Problema 2:
- Sean los números \(x\) y \(x+1\):
\[
x^2 + (x+1)^2 = 61
\]
- Expande y simplifica:
\[
x^2 + x^2 + 2x + 1 = 61 \implies 2x^2 + 2x - 60 = 0
\]
- Divide entre 2:
\[
x^2 + x - 30 = 0
\]
- Discriminante:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 1 + 120 = 121
\]
- Soluciones con la fórmula cuadrática:
\[
x_1 = \frac{-1 + 11}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{-1 - 11}{2} = -6
\]
- Números correspondientes:
\[
x_1 = 5, \ x_1 + 1 = 6
\]
\[
x_2 = -6, \ x_2 + 1 = -5
\]
- Verifica:
\[
5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61, \quad (-6)^2 + (-5)^2 = 36 + 25 = 61
\]
Problema Complementario 2:
La suma de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 52. Encuentra los números.
Soluciones a Problemas Complementarios
Soluciones a Problemas Complementarios
Solución al Problema Complementario 1:
- Ecuación del perímetro:
\[
2x + 2y = 60 \implies y = 30 - x
\]
- Ecuación del área:
\[
xy = 200 \implies x(30-x) = 200 \implies -x^2 + 30x - 200 = 0
\]
- Discriminante:
\[
D = b^2 - 4ac = 900 - 800 = 100
\]
- Soluciones cuadráticas:
\[
x_1 = \frac{-30 + 10}{-2} = 10, \quad x_2 = \frac{-30 - 10}{-2} = 20
\]
- Valores correspondientes de \(y\):
\[
y_1 = 30 - 10 = 20, \quad y_2 = 30 - 20 = 10
\]
- Con \(x > y\):
\[
x = 20 \text{ m}, \quad y = 10 \text{ m}
\]
Solución al Problema Complementario 2:
- Sean los números \(x\) y \(x+2\):
\[
x^2 + (x+2)^2 = 52
\]
- Expande y simplifica:
\[
x^2 + x^2 + 4x + 4 = 52 \implies 2x^2 + 4x - 48 = 0 \implies x^2 + 2x - 24 = 0
\]
- Discriminante:
\[
D = b^2 - 4ac = 4 + 96 = 100
\]
- Soluciones con la fórmula cuadrática:
\[
x_1 = \frac{-2 + 10}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{-2 - 10}{2} = -6
\]
- Números correspondientes:
\[
x_1 = 4, \ x_1 + 2 = 6
\]
\[
x_2 = -6, \ x_2 + 2 = -4
\]
Más Referencias y Enlaces