Teoremas y Reglas de Triángulos Semejantes

Definición de Semejanza

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales:

\[ \triangle ABC \sim \triangle DEF \quad \text{si y solo si} \quad \begin{cases} \angle A = \angle D, \\ \angle B = \angle E, \\ \angle C = \angle F, \\ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} \end{cases} \] Donde \( \sim \) es el símbolo de semejanza de dos triángulos.

Postulados de Semejanza

1. Semejanza Ángulo-Ángulo (AA)

Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, los triángulos son semejantes ya que el tercer ángulo se deduce automáticamente de la propiedad de la suma de ángulos de los triángulos.

Ejemplo:
Dado \(\angle A = \angle D\) y \(\angle B = \angle E\),
\(\Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF\)

2. Semejanza Lado-Ángulo-Lado (LAL)

Si dos lados de un triángulo son proporcionales a dos lados de otro triángulo y los ángulos comprendidos son iguales, los triángulos son semejantes.

Ejemplo:
\(\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{AC}{DF}\) y \(\angle A = \angle D\)
\(\Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF\)

3. Semejanza Lado-Lado-Lado (LLL)

Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los lados correspondientes de otro triángulo, los triángulos son semejantes.

Ejemplo:
\(\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF}\)
\(\Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF\)

Teoremas Clave

Teorema de Tales (Teorema de Proporcionalidad)

Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo, divide proporcionalmente a los otros dos lados.

Ejemplo:
Si \(DE \parallel BC\) en \(\triangle ABC\),
entonces \(\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}\).

Semejanza en Triángulos Rectángulos

La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo crea dos triángulos más pequeños semejantes entre sí y semejantes al triángulo original.

Ejemplo:
En el triángulo rectángulo \(\triangle ABC\) con altura \(CD\):
\(\triangle ABC \sim \triangle ACD \sim \triangle CBD\) (los tres triángulos son semejantes entre sí).

Teorema del Segmento Medio

El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de su longitud.

Ejemplo:
Si \(D\) y \(E\) son puntos medios de \(AB\) y \(AC\),
entonces \(DE \parallel BC\) y \(DE = \dfrac{1}{2}BC\).

Propiedades Importantes

Razón de Áreas

La razón de las áreas de dos triángulos semejantes es el cuadrado de la razón de sus lados correspondientes.

\[ \dfrac{\text{Área del } \triangle ABC}{\text{Área del } \triangle DEF} = \left(\dfrac{AB}{DE}\right)^2 \]

Teorema de la Bisectriz

Una bisectriz de un ángulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes.

Ejemplo:
Si \(AD\) es la bisectriz de \(\angle A\) en \(\triangle ABC\),
entonces \(\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}\).