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Gráfico de funciones racionales

Cómo graficar una función racional? Un tutorial paso a paso. Las propiedades tales como dominio, asíntotas verticales y horizontales de una función racional son también investigados. Papel cuadriculado gratis está disponible.


Definición

Una función racional f tiene la forma

f (x) = g (x) / h (x)

donde g (x) y h (x) son funciones polinómicas.

El dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto los valores de x que hacen que el denominador h (x) a cero.

En lo que sigue, suponemos que g (x) y h (x) no tienen factores comunes.

Asíntotas verticales

Dejar

f (x) = -3ln (x - 4)

El dominio de f es el conjunto de todos los números reales, excepto 3, desde el 3 de cero hace que el denominador y la división por cero no está permitido en las matemáticas. Sin embargo, podemos tratar de averiguar cómo la gráfica de f se comporta cerca de 3.

Vamos a evaluar la función f en los valores de x cerca de 3 tal que x <3. Los valores se muestran en la tabla siguiente:

x 1 2 2,5 2,8 2,9 2,99 2,999 2,99999
f (x) -1 -2 -4 -10 -20 -200 -2000 -2 * 10 5

Veamos ahora evaluar f en los valores de x cerca de 3 tal que x> 3.

x 5 4 3,5 3,2 3,1 3,01 3,001 3,00001
f (x) 1 2. 4 10 20 200 2000 2 * 10 5

La gráfica de f se muestra a continuación.

Notas

1 - Cuando x se aproxima a 3 de la izquierda o por valores inferiores a 3, f (x) decrece sin límite.

2 - Cuando x se aproxima a 3 de la derecha o por valores superiores a 3, f (x) crece sin límite.

Decimos que la recta x = 3, línea quebrada, es la asíntota vertical de la gráfica de f.

En general, la línea x = a es una asíntota vertical de la gráfica de f si f (x) aumenta o disminuye sin límite cuando x tiende a a por la derecha o la izquierda. Como se simboliza por escrito como:

f (x) se aproxima aumenta o disminuye sin límite sin límite cuando x tiende a 3

Horizontal asíntotas

Dejar

f (x) = (2x +1) / x

1 - Sea x aumento y encontrar los valores de f (x).

x 1 10 10 3 10 6
f (x) 3 2.1 2,001 2,000001

2 - Sea x disminución y encontrar los valores de f (x).

x -1 -10 -10 3 -10 6
f (x) 1 1,9 1,999 1,999999

Como | x | aumenta, el numerador está dominado por el término 2x y el numerador sólo tiene un plazo x. Por lo tanto f (x) toma valores cercanos a 2x / x = 2. Véase el comportamiento gráfico de abajo.

En general, la recta y = b es una asíntota horizontal para la gráfica de f si f (x) se aproxima a una constante b como x aumenta o disminuye sin límite.

¿Cómo encontrar la asíntota horizontal?

Sea f una función racional se define de la siguiente manera

f (x) = polinomio (1) / polinomio (2)

Teorema

m es el grado del polinomio en el numerador y n es el grado del polinomio en el numerador.

Caso 1: Para m <n, la asíntota horizontal es la recta y = 0.

case 2: Para m = n, la asíntota horizontal es la recta y = a m / b n

Caso 3: Para m> n, no hay asíntota horizontal.


Ejemplo 1: Sea f una función racional definida por

f (x) = (x +1) / (x-1)

a - Encontrar el dominio de f.

Encuentra la x , y intercepta de la gráfica de f.

c - Encuentre las asíntotas vertical y horizontal para la gráfica de f si los hay.

d - Utiliza tus respuestas a las partes a, b y c por encima de para trazar la gráfica de la función f.

Respuesta a la Ejemplo 1

a - El dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto x = 1, ya que este valor de x cero hace que el denominador.

b - La x intercepte se encuentra por la solución de f (x) = 0 ó x +1 = 0. x La intersección está en el punto (-1, 0).

La intersección está en el punto (0, f (0)) = (0, -1).

c - La asíntota vertical está dada por el cero en el denominador x = 1.

El grado del numerador es 1 y el grado del denominador es 1. Son iguales y de acuerdo con el teorema anterior, la asíntota horizontal es la recta y = 1 / 1 = 1

e - Aunque las partes a, b y c dan información importante sobre la gráfica de f, todavía tenemos que construir una tabla de señal para la función f con el fin de ser capaz de dibujar con facilidad.

El signo de f (x) los cambios en los ceros del numerador y el denominador. Para encontrar la tabla de signo, se procede como en la solución de las desigualdades racionales. Los ceros del numerador y el denominador que son -1 y 1 divide la línea número real en 3 intervalos:

(- Infinito, -1), (-1, 1), (1, + infinito).

Hemos seleccionado un valor de prueba dentro de cada intervalo y encontrar el signo de f (x).

En (- infinito, -1), -2 seleccionar y encontrar f (-2) = (-2 + 1) / (-2 - 1) = 1 / 3> 0.

En (-1, 1), 0 seleccionar y encontrar f (0) = -1 <0.

En (1, + infinito), 2 seleccionar y encontrar f (2) = (2 + 1) / (2 - 1) = 3> 0.

Vamos a poner toda la información acerca de f en una tabla.

x

- Inf

-1 1

+ Inf

f (x) + 0

x-intercepta

-- AV +

En el cuadro anterior significa VA asíntota vertical.

Para dibujar la gráfica de f, se comienza por esbozar el X e intercepta y y las asíntotas verticales y horizontales en las líneas rotas. Véase el croquis.

Ahora empezar a dibujar la gráfica de f a partir de la izquierda.

En el intervalo de inf (-, -1) f (x) es positiva por lo tanto, el gráfico está por encima del eje x. Comenzando desde la izquierda dibujo, que f teniendo en cuenta el hecho de que y = 1 es una asíntota horizontal: la gráfica de f está cerca de la línea de la izquierda. Véase el croquis.

Entre -1 y 1, f (x) es negativa, por lo tanto, la gráfica de f está por debajo del eje x. (0, -1 intersección) es ay y x = 1 es una asíntota vertical: cuando x se aproxima a 1 de izquierda f (x) Difuntos sin límite porque f (x) <0 en (-1, 1). Véase el croquis.

Para x> 1, f (x)> 0 por lo tanto, el gráfico está por encima del eje x. Cuando x se aproxima a 1 por la derecha, la gráfica de f aumenta sin límite (f (x)> 0). También a medida que aumenta x, la gráfica de f enfoques y = 1, la asíntota horizontal. Véase el croquis.

Ahora ponemos todas las "piezas" de la gráfica de f en conjunto para obtener la gráfica de f.

Igualados Problema: Sea f una función racional definida por

f (x) = (-x + 2) / (x + 4)

a - Encontrar el dominio de f.

Encuentra la x , y intercepta de la gráfica de f.

c - Encuentre las asíntotas vertical y horizontal para la gráfica de f si los hay.

d - Utiliza tus respuestas a las partes A, B y C por encima de para trazar la gráfica de la función f.








Más referencias sobre gráficos y funciones racionales.

  • Funciones gráficas


  • Funciones Racionales - Applet


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    Actualizado: 25 de noviembre de 2007 (A Dendane)