Funciones cuadráticas una función cuadrática tiene la forma f (x) = ax 2 + bx + c Donde a, b y c son números reales y no es igual a 0. El dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales. La intersección de la gráfica de f está dado por f (0) = c. La x intersecciones se encuentran resolviendo la ecuación ax 2 + bx + c = 0 Hay varios métodos para resolver esta ecuación. Uno de estos métodos es el uso de las fórmulas de segundo grado. Las dos soluciones son dadas por x 1 = (- b + sqrt (D)) / 2a x 2 = (- b - sqrt (D)) / 2a donde D es el discriminante dado D = b 2 - 4ac Para encontrar el rango de la función cuadrática, lo primero que volver a escribir en la forma f (x) = a (x - h)2 + k - Si ampliamos la plaza anteriormente en f (x) anterior, obtenemos
f (x) = ax 2 - 2ahx + ah 2 + k - Es la misma función, por lo tanto tenemos que tener
-2ah = b (primera ecuación) y ah 2 + k = c (segunda ecuación) - Resolver la primera ecuación para obtener h
h = b / 2a - H Suplente por -b/2a en la segunda ecuación y resolverla para k para obtener
k = c - b2 / 4a - De ahí que cualquier función cuadrática se puede escribir en la forma f (x) = a (x - h) 2 + k, con h y k dado en función de a, b y c, tal como se muestra arriba. El formulario anterior conduce a resultados muy interesantes. A x cambios, el término (x - h) 2 puede ser positivo o cero. Por lo tanto
(x - h) 2 >= 0 (>= significa mayor que o igual) - 1 - Si a> 0, se multiplican ambos lados de la desigualdad anterior por un
a (x - h) 2 >= 0. - K Añadir a ambos lados de la desigualdad de
a (x - h)2 + k >= k. - El lado izquierdo es la fórmula de la función, f (x) = a (x - h) 2 + k, por lo tanto,
f (x) >= k - El resultado anterior nos dice que f (x) tiene un valor mínimo igual a k. También nos dice que el rango de f (x) viene dada por
[K, + infinito) - 2 - Si a <0, se multiplican ambos lados de la desigualdad (x - h) 2 >= 0 A y cambiar el símbolo de la desigualdad.
a (x - h) 2 <= 0. - El resultado anterior nos dice que f (x) tiene un valor máximo igual a k. También nos dice que el rango de f (x) viene dada por
(- Infinito, k] También es importante tener en cuenta que k = f (h). La gráfica de una función cuadrática se llama una parábola y el punto de coordenadas (h, k) se llama vértice de la parábola que puede ser un máximo o un punto mínimo como hemos demostrado anteriormente.
Ejemplo 1: f es una función cuadrática dada por f (x) = 2x 2 + 2 x - 4 - Encuentra la x , y intercepta de la gráfica de f.
- Encontrar el vértice de la gráfica de f.
- Encuentra el dominio y el rango de f.
- Dibuje la gráfica de f.
Solución del Ejemplo 1 - a - La intersección está dada por
(0, f (0)) = (0, -4) - Las coordenadas x de las intersecciones x son las soluciones a
2x 2 + 2 x - 4 = 0 - El discriminante D de la ecuación de segundo grado por encima de viene dada por
D = (2) 2 - 4 (2) (-4) = 36 - Las soluciones son
x 1 = (-2 + 6) / 4 -1 x 2 = (-2 - 6) / 4 2. - La x se intercepta en los puntos (1, 0) y (-2, 0).
- b - La coordenada x h, y la coordenada k de los vértices son dados por
h = b / 2a = -2 / 4 = -1 / 2 k = f (h) = f (-1 / 2) = 2 (-1 / 2) 2 + 2 (-1 / 2) - 4 = -9 / 2 El vértice está en el punto (-1 / 2, -9 / 2) - c - El dominio de f (x) es el conjunto de todos los números reales.
- Dado que el coeficiente a es positivo, f tiene un valor mínimo igual a k. La gama está dado por el conjunto de los valores reales en el intervalo [-9 / 2, + infinito).
- d - Encontrar puntos extra si es necesario;
(2, f (2)) = (2, 8) y (-3, f (-3)) = (-3, 8) como un ejemplo. Parcela el vértice (el punto más bajo), el X e intersecciones y los puntos extra y como se muestra a continuación. Desde el vértice, que es un punto mínimo, los lados izquierdo y derecho de la gráfica de f debe subir hacia arriba. Igualados Problema: f es una función cuadrática dada por f (x) = x 2 - 2 x - 3 - Encuentra la x , y intercepta de la gráfica de f.
- Encontrar el vértice de la gráfica de f.
- Encuentra el dominio y el rango de f.
- Dibuje la gráfica de f.
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