Encontrar Funciones Inversas – Preguntas y Respuestas
Esta página contiene las soluciones completas a las preguntas que se encuentran en
Encontrar Funciones Inversas – Preguntas.
Cada función inversa está escrita usando notación matemática adecuada e
incluye restricciones de dominio cuando es necesario.
Pregunta 1
Encuentra la inversa de la función lineal \( f \).
\[
f(x) = 3x - 2
\]
Solución
\[
y = 3x - 2
\]
\[
x = 3y - 2
\]
\[
y = \frac{x + 2}{3}
\]
\[
\boxed{f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{3}}
\]
Pregunta 2
Encuentra la inversa de la función cuadrática \( f \).
\[
f(x) = -x^2 + 2, \quad x \ge 0
\]
Solución
\[
y = -x^2 + 2
\]
\[
x^2 = 2 - y
\]
\[
x = \sqrt{2 - y}
\]
\[
\boxed{f^{-1}(x) = \sqrt{2 - x}}
\]
Pregunta 3
Encuentra la inversa de la función cuadrática \( f \).
\[
f(x) = x^2 - 2x, \quad x \ge 1
\]
Solución
\[
y = x^2 - 2x
\]
\[
y + 1 = (x - 1)^2
\]
\[
x - 1 = \sqrt{y + 1}
\]
\[
\boxed{f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{x + 1}}
\]
Pregunta 4
Encuentra la inversa de la función racional \( f \).
\[
f(x) = \frac{2}{x}
\]
Solución
\[
y = \frac{2}{x}
\]
\[
x = \frac{2}{y}
\]
\[
\boxed{f^{-1}(x) = \frac{2}{x}}
\]
Pregunta 5
Encuentra la inversa de la función racional \( f \).
\[
f(x) = \frac{x + 1}{x - 1}
\]
Solución
\[
y = \frac{x + 1}{x - 1}
\]
\[
y(x - 1) = x + 1
\]
\[
yx - y = x + 1
\]
\[
x(y - 1) = y + 1
\]
\[
\boxed{f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{x - 1}}
\]
Pregunta 6
Encuentra la inversa de la función raíz cuadrada \( f \).
\[
f(x) = \sqrt{x - 1}
\]
Solución
\[
y = \sqrt{x - 1}
\]
\[
y^2 = x - 1
\]
\[
x = y^2 + 1
\]
\[
\boxed{f^{-1}(x) = x^2 + 1, \quad x \ge 0}
\]
Pregunta 7
Encuentra la inversa de la función raíz cúbica \( f \).
\[
f(x) = (x + 1)^{1/3}
\]
Solución
\[
y = (x + 1)^{1/3}
\]
\[
y^3 = x + 1
\]
\[
\boxed{f^{-1}(x) = x^3 - 1}
\]
Pregunta 8
Encuentra la inversa de la función logarítmica \( f \).
\[
f(x) = \ln(x)
\]
Solución
\[
y = \ln(x)
\]
\[
x = e^y
\]
\[
\boxed{f^{-1}(x) = e^x}
\]
Pregunta 9
Encuentra la inversa de la función exponencial \( f \).
\[
f(x) = e^{x - 1} + 3
\]
Solución
\[
y = e^{x - 1} + 3
\]
\[
y - 3 = e^{x - 1}
\]
\[
\ln(y - 3) = x - 1
\]
\[
\boxed{f^{-1}(x) = \ln(x - 3) + 1}
\]
Pregunta 10
Encuentra la inversa de la función logarítmica \( f \).
\[
f(x) = \ln(x + 2) - 3
\]
Solución
\[
y = \ln(x + 2) - 3
\]
\[
y + 3 = \ln(x + 2)
\]
\[
x + 2 = e^{y + 3}
\]
\[
\boxed{f^{-1}(x) = e^{x + 3} - 2}
\]
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