Funciones Inyectivas (Uno a Uno)

Este tutorial explora el concepto de una función inyectiva (uno a uno) utilizando razonamiento algebraico y métodos gráficos. Comprender las funciones inyectivas es esencial para estudiar funciones inversas, sus propiedades, y para resolver ciertos tipos de ecuaciones.

Varias funciones se examinan utilizando la prueba de la línea horizontal, respaldadas por demostraciones analíticas cuando corresponde. Problemas de práctica adicionales están disponibles aquí: Preguntas sobre Funciones Inyectivas .

Función Inyectiva (Uno a Uno)

Definición de una Función

Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto llamado dominio exactamente un elemento en otro conjunto llamado rango.

Definición de una Función Inyectiva

Una función es inyectiva (uno a uno) si no hay dos elementos diferentes en el dominio que correspondan al mismo elemento en el rango.

Algebraicamente, sean \(x_1\) y \(x_2\) elementos cualesquiera del dominio. Una función \(f\) es inyectiva si:

\[ x_1 \ne x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \ne f(x_2) \]

Usando el contrapositivo, una afirmación equivalente es:

\[ f(x_1) = f(x_2) \quad \Rightarrow \quad x_1 = x_2 \]

Esta forma es particularmente útil cuando se demuestra si una función es inyectiva.

En el diagrama de Venn a continuación, la función es inyectiva porque no hay dos entradas que compartan la misma salida.

Diagrama de Venn de una función inyectiva
Figura 1. Diagrama de Venn de una función inyectiva

En el siguiente diagrama, la función no es inyectiva porque las entradas \(-1\) y \(0\) tienen la misma salida.

Diagrama de Venn de una función que no es inyectiva
Figura 2. Diagrama de Venn de una función que no es inyectiva

Prueba de la Línea Horizontal

Cuando se conoce la gráfica de una función, podemos determinar si es inyectiva usando la prueba de la línea horizontal.

Si cada línea horizontal intersecta la gráfica a lo sumo una vez, la función es inyectiva.

Gráfica de una función inyectiva
Figura 3. Gráfica de una función inyectiva

La siguiente gráfica no es inyectiva porque algunas líneas horizontales intersectan la gráfica más de una vez.

Gráfica de una función que no es inyectiva
Figura 4. Gráfica de una función que no es inyectiva

Ejemplos de Funciones Inyectivas

Ejemplo 1

Demuestra algebraicamente que todas las funciones lineales de la forma \[ f(x) = ax + b, \quad a \ne 0 \] son inyectivas.

Solución

Supón que \(f(x_1) = f(x_2)\). Entonces:

\[ ax_1 + b = ax_2 + b \] \[ a(x_1 - x_2) = 0 \]

Dado que \(a \ne 0\), se sigue que:

\[ x_1 = x_2 \]

Por lo tanto, todas las funciones lineales con pendiente distinta de cero son inyectivas.

Ejemplo 2

Demuestra analítica y gráficamente que \[ f(x) = -x^2 + 3 \] no es una función inyectiva.

Solución

\[ -x_1^2 + 3 = -x_2^2 + 3 \] \[ -(x_1^2 - x_2^2) = 0 \] \[ -(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 0 \]

Esto da:

\[ x_1 = x_2 \quad \text{o} \quad x_1 = -x_2 \]

Dado que la igualdad de las salidas no fuerza \(x_1 = x_2\), la función no es inyectiva.

Gráfica de una función cuadrática que no es inyectiva
Figura 5. Función cuadrática que no pasa la prueba de la línea horizontal

Ejemplo 3

Demuestra gráficamente que las siguientes funciones son inyectivas:

\[ f(x) = \ln(x), \quad g(x) = e^x, \quad h(x) = x^3 \]

Cada gráfica a continuación intersecta cualquier línea horizontal a lo sumo una vez.

Gráfica de ln(x) mostrando que es inyectiva
Figura 6. Gráfica de \( \ln(x) \)
Gráfica de e^x mostrando que es inyectiva
Figura 7. Gráfica de \( e^x \)
Gráfica de x^3 mostrando que es inyectiva
Figura 8. Gráfica de \( x^3 \)

¿Cómo se Usan las Funciones Inyectivas?

1. Funciones Inversas

Solo las funciones inyectivas tienen funciones inversas, y sus inversas también son inyectivas.

2. Resolución de Ecuaciones

Debido a que las funciones logarítmicas y exponenciales son inyectivas, podemos igualar sus argumentos.

\[ \ln(2x + 3) = \ln(4x - 2) \Rightarrow 2x + 3 = 4x - 2 \] \[ e^{-x + 2} = e^{3x - 8} \Rightarrow -x + 2 = 3x - 8 \]

Lectura Adicional