Gráficas de Funciones Racionales: Respuestas y Soluciones

Estas son las soluciones a las Preguntas de Gráficas de Funciones Racionales. Cada solución incluye las características clave de la función que determinan su gráfica.

1. Pregunta 1:

   Identifica la gráfica de la función racional \( f \). \[ f(x) = \dfrac{1}{x} \]

   Respuesta:

   b

   Características clave: Hipérbola con asíntota vertical en \( x = 0 \) y asíntota horizontal en \( y = 0 \).

2. Pregunta 2:

   Identifica la gráfica de la función racional \( f \). \[ f(x) = \dfrac{1}{x - 1} \]

   Respuesta:

   a

   Características clave: Traslación de \( \dfrac{1}{x} \) una unidad a la derecha (asíntota vertical en \( x = 1 \)).

3. Pregunta 3:

   Identifica la gráfica de la función racional \( f \). \[ f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 1} \]

   Respuesta:

   c

   Características clave: Asíntota vertical en \( x = 1 \), asíntota horizontal en \( y = 1 \), intersección con el eje X en \( (-1, 0) \).

4. Pregunta 4:

   Identifica la gráfica de la función racional \( f \). \[ f(x) = \dfrac{1}{x^2 + x - 2} \]

   Respuesta:

   a

   Características clave: El denominador se factoriza como \( (x+2)(x-1) \), dando asíntotas verticales en \( x = -2 \) y \( x = 1 \).

5. Pregunta 5:

   Identifica la gráfica de la función racional \( f \). \[ f(x) = \dfrac{x + 2}{x^2 - 1} \]

   Respuesta:

   d

   Características clave: Asíntotas verticales en \( x = \pm 1 \), intersección con el eje X en \( (-2, 0) \), asíntota horizontal en \( y = 0 \).

6. Pregunta 6:

   Identifica la gráfica de la función racional \( f \). \[ f(x) = \dfrac{x + 2}{x^2 - x - 2} \]

   Respuesta:

   a

   Características clave: Observa que \( x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) \), pero \( x+2 \) en el numerador no se cancela. Asíntotas verticales en \( x = 2 \) y \( x = -1 \).

7. Pregunta 7:

   Identifica la gráfica de la función racional \( f \). \[ f(x) = \dfrac{x - 1}{x^2 + x + 1} \]

   Respuesta:

   c

   Características clave: El denominador no tiene ceros reales (discriminante \( 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0 \)), por lo tanto no hay asíntotas verticales. Asíntota horizontal en \( y = 0 \).

8. Pregunta 8:

   Identifica la gráfica de la función racional \( f \). \[ f(x) = \dfrac{x^2 + x - 2}{x^2 - x - 2} \]

   Respuesta:

   a

   Características clave: Factoriza ambos: numerador \( = (x+2)(x-1) \), denominador \( = (x-2)(x+1) \). Sin cancelación. Asíntotas verticales en \( x = 2 \) y \( x = -1 \), asíntota horizontal en \( y = 1 \).

9. Pregunta 9:

   Identifica la gráfica de la función racional \( f \). \[ f(x) = \dfrac{1}{x^2 + x + 1} \]

   Respuesta:

   d

   Características clave: No hay asíntotas verticales (el denominador siempre es positivo), asíntota horizontal en \( y = 0 \), la gráfica siempre es positiva.

10. Pregunta 10:

    Identifica la gráfica de la función racional \( f \). \[ f(x) = \dfrac{x^2 - x}{x^2 - x - 2} \]

    Respuesta:

    b

    Características clave: Factoriza: \( \dfrac{x(x-1)}{(x-2)(x+1)} \). Asíntotas verticales en \( x = 2 \) y \( x = -1 \), asíntota horizontal en \( y = 1 \), intersecciones con el eje X en \( x = 0 \) y \( x = 1 \).

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