Derivadas Involucrando Valor Absoluto

Tutorial sobre cómo encontrar las derivadas de funciones en cálculo (Diferenciación) que involucran el valor absoluto.
Se incluye un video sobre Cómo encontrar la derivada de una Función de Valor Absoluto.

Derivada de una Función de Valor Absoluto

Sea \( f(x) = | u(x) | \).
Nota que \( |u(x)| = \sqrt {u^2(x)} \)
Usa la regla de la cadena de diferenciación para encontrar la derivada de \( f = | u(x) | = \sqrt {u^2(x)}\).
      \( \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} \)

      \( \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{2} \dfrac{2 u }{\sqrt {u^2}} = \dfrac{u}{|u|} \)
Por lo tanto
\[ \large \color{red}{\dfrac{df}{dx} = \dfrac{du}{dx} \dfrac{u}{|u|}} \]



Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1
Encuentra la primera derivada \( f \,'(x) \), si \( f(x) \) es dada por \[ f(x) = |x - 1| \] Solución del Ejemplo 1
Sea \( u = x - 1\) de manera que \( f(x) \) puede ser escrita como
\( f(x) = |u| = \sqrt{u^2} \)

Usa la regla de la cadena
\( f \, '(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} \)

\( f \, '(x) = (1/2) \dfrac{2u}{\sqrt{u^2}} \dfrac{du}{dx}\)

\( f \, '(x) = u \cdot \dfrac{u \, '}{|u|} \)

\( f \, '(x) = u \cdot \dfrac{1}{\sqrt{u^2}} = \dfrac{x-1}{|x-1|} \)

Observa lo siguiente:
1) si \( x \gt 1 \), entonces \( |x - 1| = x - 1 \) y \( f \, '(x) = 1 \).
2) Si \( x \lt 1 \), entonces \( |x - 1| = -(x - 1) \) y \( f \, '(x) = -1 \).
3) \( f \,'(x) \) no existe en \( x = 1 \).
Los gráficos de \( f \) y su derivada \( f' \) se muestran a continuación y observamos que no es posible tener una tangente a la gráfica de \( f \) en \( x = 1 \) lo que explica la no existencia de la derivada en \( x = 1 \).

derivada de función de valor absoluto



Ejemplo 2

Encuentra la primera derivada de \( f \) dada por \[ f(x) = - x + 2 + |- x + 2| \] Solución del Ejemplo 2
\( f(x) \) está compuesta por la suma de dos funciones. Sea \( u = - x + 2 \) de manera que
\( f\,'(x) = -1 + u \, ' \dfrac {u}{|u|} = -1 + \dfrac{-1(-x+2)}{|-x+2|} \)
Simplifica
\( f\,'(x) = - 1 - \dfrac{-x+2}{|-x+2|} \)
Observa lo siguiente:
1) Si \( x \lt 2 \), \( |- x + 2 | = - x + 2 \) y \( f \, '(x) = -2 \).
2) Si \( x \gt 2 \), \( |- x + 2 | = -(- x + 2) \) y \( f \, '(x) = 0 \).
3) \( f \, '(x) \) no existe en \( x = 2 \).

Como ejercicio, traza el gráfico de \( f \) y explica los resultados concernientes a \( f'(x) \) obtenidos arriba.



Ejemplo 3

Encuentra la primera derivada de \( f \) dada por \[ f(x) = \dfrac{x+1}{ |x^2 - 1| } \] Solución del Ejemplo 3
\( f\,'(x) = \dfrac{1.|x^2 - 1|-(x+1)(2x)\dfrac{x^2 - 1}{|x^2 - 1|}}{|x^2 - 1|^2} \)

Separa la fracción en dos fracciones y simplifica la fracción del lado izquierdo
\( f\,'(x) = \dfrac{1}{|x^2-1|} - \dfrac{2x(x+1)(x^2-1)}{(x^2-1)^2|x^2-1|} \)

Simplifica la fracción del lado derecho
\( f\,'(x) = \dfrac{1}{|x^2-1|} - \dfrac{2x}{(x-1)|x^2-1|} \)

Iguala las dos fracciones al mismo denominador
\( f\,'(x) = \dfrac{x-1}{(x-1)|x^2-1|} - \dfrac{2x}{(x-1)|x^2-1|} \)

Suma las dos fracciones y simplifica
\( f\,'(x) = - \dfrac{x+1}{(x-1)|x^2-1|} \)



Ejercicios con Respuestas

Encuentra las primeras derivadas de estas funciones
Pista: En algunas de las preguntas a continuación puede que tengas que aplicar la regla de la cadena más de una vez.
1. \( f(x) = |2x - 5| \)
2. \( g(x) = (x - 2)^2 + |x - 2| \)
3. \( h(x) = \left |\dfrac{x+1}{x-3} \right| \)
4. \( i(x) = \left | -2x^2 + 2x -1 \right| \)
5. \( j(x) = e^{|2x-1|} \)
6. \( k(x) = | \ln(-3x+1)| \)
7. \( l(x) = \sin |2x| \)



Respuestas a los ejercicios anteriores:

1. \( f \, '(x) = 2 \dfrac{2x-5}{|2x-5|} \)

2. \( g \, '(x) = 2 (x - 2) + \dfrac{x-2}{|x-2|} \)

3. \( h \, '(x) = -4 \left|\dfrac{x-3}{x+1}\right| \dfrac{x+1}{(x-3)^3} \)

4. \( i\,'(x) = \dfrac{\left(-2x^2+2x-1\right)\left(-4x+2\right)}{\left|-2x^2+2x-1\right|} \)

5. \( j\,'(x) = \dfrac{2e^{\left|2x-1\right|}\left(2x-1\right)}{\left|2x-1\right|} \)

6. \( k\,'(x) = -\dfrac{3\ln \left(-3x+1\right)}{\left|\ln \left(-3x+1\right)\right|\left(-3x+1\right)} \)

7. \( l\,'(x) = \dfrac{2x\cos \left(2\left|x\right|\right)}{\left|x\right|} \)



Más Enlaces y Referencias

  1. Regla de la Cadena
  2. diferenciación y derivadas