Encuentra la Derivada de f(x) = arcsin(sin(x)) y grafícala
Un tutorial sobre cómo encontrar la primera derivada de f(x) = arcsin(sin(x)) usando la regla de la cadena y graficando f y f' para x en R.
Gráficas de sin(x) y arcsin(sin(x))
Dado que el dominio de f es R y sin(x) es periódica, entonces f(x) = arcsin(sin(x)) también es una función periódica.
A medida que x aumenta de 0 a π/2, sin(x) aumenta de 0 a 1 y arcsin(sin(x)) aumenta de 0 a π/2. De hecho, para x en [0 , π/2], arcsin(sin(x)) = x. A medida que x aumenta desde [π/2 , 3π/2], sin(x) disminuye de 1 a -1 y arcsin(sin(x)) disminuye de π/2 a -π/2. A medida que x aumenta desde 3π/2 a 2π, sin(x) aumenta de -1 a 0 y arcsin(sin(x)) aumenta de 3π/2 a 2π.
Dado que sin(x) tiene un período de 2π, arcsin(sin(x)) también tiene un período de 2π. La gráfica a continuación muestra las gráficas de arcsin(sin(x)) y sin(x) de 0 a 2π.
La gráfica a continuación muestra las gráficas de arcsin(sin(x)) y sin(x) sobre 3 períodos.
Dominio de f: (-∞ , +∞)
Rango de f: [-π/2 , π/2]
Derivada de f(x) = arcsin(sin(x)) y su Gráfica
f(x) es una función compuesta y la derivada se calcula usando la regla de la cadena de la siguiente manera: Sea u = sin(x)
Entonces f(x) = arcsin(u(x))
Aplica la regla de la cadena de diferenciación
f '(x) = du/dx d(arcsin(u))/du = cos(x) * 1 / √(1 - u2)
= cos(x) * 1 / (1 - sin2(x))
= cos(x) / √(sin2(x))
= cos(x) / | cos(x) |
A continuación se muestra arcsin(sin(x)) en rojo y su derivada en azul. Observa que la derivada es indefinida para valores de x para los cuales cos(x) = 0, lo que significa en x = π/2 + k*π, donde k es un entero. Para estos mismos valores de x, arcsin(sin(x)) tiene ya sea un valor máximo igual a π/2 o un valor mínimo igual a -π/2.
Observa que aunque arcsin(sin(x)) es continua para todos los valores de x, su derivada es indefinida en ciertos valores de x.
