Un tutorial de cálculo sobre cómo encontrar la primera derivada de \( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) y graficar \( f \) y \( f' \) en su dominio natural.
\( f(x) \) está definida para todos los valores \( x \in \mathbb{R} \) excepto \( x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \), donde \( k \) es un número entero.
Dado que \( \tan(x) \) es periódica, \( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) también es una función periódica.
A medida que \( x \) aumenta de \( -\frac{\pi}{2} \) a \( \frac{\pi}{2} \) (exclusivo), \( \tan(x) \) aumenta de valores muy pequeños (\(-\infty\)) a valores muy grandes (\(+\infty\)), y \( \arctan(\tan(x)) \) aumenta de \( -\frac{\pi}{2} \) a \( \frac{\pi}{2} \) (exclusivo), ya que \( \tan(x) \) no está definida en \( -\frac{\pi}{2} \) y \( \frac{\pi}{2} \). De hecho, para \( x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \), tenemos \( \arctan(\tan(x)) = x \).
Como \( \tan(x) \) tiene un período de \( \pi \), \( \arctan(\tan(x)) \) también tiene un período de \( \pi \). La siguiente gráfica muestra las gráficas de \( \arctan(\tan(x)) \) y \( \tan(x) \) desde \( -\frac{\pi}{2} \) hasta \( \frac{3\pi}{2} \).
Dominio de \( f \): \( \mathbb{R} - \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z} \right\} \)
Rango de \( f \): \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \)
La siguiente gráfica muestra las gráficas de \( \arctan(\tan(x)) \) en tres períodos.
\( f(x) \) es una función compuesta, y su derivada se calcula usando la regla de la cadena de la siguiente manera:
Sea \( u = \tan(x) \), por lo tanto \( f(x) = \arctan(u(x)) \).
Aplica la regla de la cadena de diferenciación:
\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d}{du}(\arctan(u)) = \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \frac{1}{u^2 + 1} \]
Sustituye \( u = \tan(x) \): \[ f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \frac{1}{\tan^2(x) + 1} \]
Dado que \( 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \), \[ f'(x) = 1, \quad \text{para } x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \; k \in \mathbb{Z}. \]
A continuación se muestra \( \arctan(\tan(x)) \) en rojo y su derivada en azul. Nótese que la derivada no está definida para los valores de \( x \) en los que \( \cos(x) = 0 \), es decir, en \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), donde \( k \) es un número entero. Además, la propia función \( f(x) \) no está definida en estos mismos puntos.
