Derivada de Función Inversa

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Se presentan ejemplos con soluciones detalladas sobre cómo encontrar la derivada (Diferenciación) de una función inversa. También se incluyen más ejercicios con respuestas.

Fórmula de la Derivada de Función Inversa (teorema)

Sea \( f \) una función y \( f^{-1} \) su inversa. Una de las propiedades de la función inversa es que \[ f(f^{-1}(x)) = x \] Sea \( y = f^{-1}(x) \) de modo que. \[ f(y) = x \] Diferenciamos ambos lados usando la regla de la cadena en el lado izquierdo. \[ \dfrac{df}{dy} \dfrac{dy}{dx} = 1 \] Resolvemos para \( \dfrac{dy}{dx} \) \[ \boxed { \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{ \dfrac{df}{dy}} } \] lo cual también puede escribirse como \[ \boxed { \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{ f'(f^{-1}(x)) } } \] donde \( f' \) es la primera derivada de \( f \).



Ejemplo 1

Encuentra la derivada de la inversa de la función \( f \) dada por \[ f(x)= \dfrac{x}{2} - 1 \]

Solución al Ejemplo 1

Presentamos dos métodos para responder la pregunta anterior. En el primer método calculamos la función inversa y luego su derivada. En el segundo método, usamos la fórmula desarrollada anteriormente.

Método 1

El primer método consiste en encontrar la inversa de la función \( f \) y diferenciarla. Para encontrar la inversa de \( f \) primero la escribimos como una ecuación \[ y = \dfrac{x}{2} - 1 \] Resolvemos para \( x \). \[ x = 2 y + 2 \] Intercambiamos \( x \) e \( y \) para obtener la inversa. \[ y = f^{-1} (x) = 2 x + 2 \] Esto nos da la función inversa de \( f \) cuya derivada es dada por \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac {df^{-1}}{dx} = 2 \]

Método 2

El segundo método parte de una de las propiedades más importantes de las funciones inversas.
Dado \[ f(x)= \dfrac{x}{2} - 1 \] entonces \[ f'(x) = \dfrac{1}{2} \]
Sustituimos \( f' \) por \( \dfrac{1}{2} \) en la fórmula \( \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{ f'(f^{-1}(x)) } \) para obtener \[ \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \] Nota que el primer método solo se puede usar si podemos encontrar la función inversa explícitamente.



Ejemplo 2

Encuentra la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) donde \( y = \arcsin x \).

Solución al Ejemplo 2

\( \arcsin x \) es la función inversa de \( \sin x \) y por lo tanto
\[ \sin(\arcsin(x)) = x \qquad (I) \]
Dado \[ y = \arcsin x \]
Tomamos el seno de ambos lados en el anterior
\[ \sin y = \sin(\arcsin x ) \] Simplificamos usando (I) \[ \sin y = x \] Diferenciamos ambos lados de la ecuación anterior, respecto a \( x \), usando la regla de la cadena en el lado izquierdo.
\[ \dfrac {dy}{dx} \cos y = 1 \] Resolvemos para \( \dfrac {dy}{dx} \)
\[ \dfrac {dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \] Hacemos la sustitución \( y = \arcsin x \) en lo anterior \[ \dfrac { dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos (\arcsin x) } \qquad (II) \] Simplificamos \( \cos \arcsin x \) usando la identidad trigonométrica \( \cos x = \sqrt {1 - \sin^2 x} \) escribiendo \[ \cos (\arcsin x) = \sqrt {1 - \sin^2( \arcsin x)} \] Simplificamos usando la propiedad de las funciones inversas: \( \sin (\arcsin x) = x \) lo que nos da \[ \cos (\arcsin x) = \sqrt {1 - x^2} \] Sustituimos en (II) anterior para obtener la respuesta final \[ \boxed { \dfrac {dy}{dx} = \dfrac{d(\arcsin(x)}{dx} = \dfrac{1}{ \sqrt {1 - x^2} } } \] Nota que el resultado anterior podría haberse obtenido usando la fórmula (teorema) anterior pero aquí hemos mostrado cómo encontrar la derivada de la inversa sin (recordar) la fórmula.



Ejercicios

Encuentra la derivada de la inversa de cada función dada a continuación.

  1. \( f(x) = 3x - 4 \)
  2. \( g(x) = \arccos x \)
  3. \( h(x) = \arctan x \)

Respuestas a los Ejercicios Anteriores

  1. \( (f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{3} \)

  2. \( (g^{-1})'(x) = -\dfrac{1}{\sqrt {1-x^2}} \)

  3. \( (h^{-1})'(x) = \dfrac{1}{\sqrt {1+x^2}} \)



Más Referencias y Enlaces

  1. Función Inversa
  2. diferenciación y derivadas