Derivada de la Función Inversa

Se presentan ejemplos con soluciones detalladas sobre cómo encontrar la derivada (diferenciación) de una función inversa. También se incluyen más ejercicios con respuestas.

Fórmula de la Derivada de la Función Inversa (teorema)

Sea \( f \) una función y \( f^{-1} \) su inversa. Una de las propiedades de la función inversa es que \[ f(f^{-1}(x)) = x \] Sea \( y = f^{-1}(x) \), de modo que: \[ f(y) = x \] Deriva ambos lados usando la regla de la cadena en el lado izquierdo. \[ \dfrac{df}{dy} \dfrac{dy}{dx} = 1 \] Resuelve para \( \dfrac{dy}{dx} \) \[ \boxed { \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{ \dfrac{df}{dy}} } \] que también puede escribirse como \[ \boxed { \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{ f'(f^{-1}(x)) } } \] donde \( f' \) es la primera derivada de \( f \).

Ejemplo 1

Encuentra la derivada de la inversa de la función \( f \) dada por \[ f(x)= \dfrac{x}{2} - 1 \]

Solución del Ejemplo 1

Presentamos dos métodos para responder a la pregunta anterior. En el primer método calculamos la función inversa y luego su derivada. En el segundo método, utilizamos la fórmula desarrollada anteriormente.

Método 1

El primer método consiste en encontrar la inversa de la función \( f \) y derivarla. Para encontrar la inversa de \( f \) primero la escribimos como una ecuación \[ y = \dfrac{x}{2} - 1 \] Resuelve para \( x \). \[ x = 2 y + 2 \] Intercambia \( x \) e \( y \) para obtener la inversa. \[ y = f^{-1} (x) = 2 x + 2 \] Lo anterior da la función inversa de \( f \), cuya derivada está dada por \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac {df^{-1}}{dx} = 2 \]

Método 2

El segundo método comienza con una de las propiedades más importantes de las funciones inversas.
Dado \[ f(x)= \dfrac{x}{2} - 1 \] por lo tanto \[ f'(x) = \dfrac{1}{2} \]
Sustituye \( f' \) por \( \dfrac{1}{2} \) en la fórmula \( \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{ f'(f^{-1}(x)) } \) para obtener \[ \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \] Nota: El primer método solo se puede utilizar si podemos encontrar la función inversa explícitamente.

Ejemplo 2

Encuentra la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) donde \( y = \arcsin x \).

Solución del Ejemplo 2

\( \arcsin x \) es la función inversa de \( \sin x \) y, por lo tanto,
\[ \sin(\arcsin(x)) = x \qquad (I) \]
Dado \[ y = \arcsin x \]
Toma el seno de ambos lados en lo anterior.
\[ \sin y = \sin(\arcsin x ) \] Simplifica usando (I) \[ \sin y = x \] Deriva ambos lados de la ecuación anterior, con respecto a \( x \), usando la regla de la cadena en el lado izquierdo.
\[ \dfrac {dy}{dx} \cos y = 1 \] Resuelve para \( \dfrac {dy}{dx} \)
\[ \dfrac {dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \] Haz la sustitución \( y = \arcsin x \) en lo anterior \[ \dfrac {dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos (\arcsin x) } \qquad (II) \] Simplifica \( \cos (\arcsin x) \) usando la identidad trigonométrica \( \cos x = \sqrt {1 - \sin^2 x} \) escribiendo \[ \cos (\arcsin x) = \sqrt {1 - \sin^2( \arcsin x)} \] Simplifica usando la propiedad de las funciones inversas: \( \sin (\arcsin x) = x \) lo que da \[ \cos (\arcsin x) = \sqrt {1 - x^2} \] Sustituye en (II) arriba para obtener la respuesta final \[ \boxed { \dfrac {dy}{dx} = \dfrac{d(\arcsin(x))}{dx} = \dfrac{1}{ \sqrt {1 - x^2} } } \] Nota: El resultado anterior podría haberse obtenido usando la fórmula (teorema) de arriba, pero aquí hemos mostrado cómo encontrar la derivada de la inversa sin (recordar) la fórmula.

Ejercicios

Encuentra la derivada de la inversa de cada función dada a continuación.

\( f(x) = 3x - 4 \)

\( g(x) = \arccos x \)

\( h(x) = \arctan x \)

Respuestas a los Ejercicios Anteriores

\( (f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{3} \)

\( (g^{-1})'(x) = -\dfrac{1}{\sqrt {1-x^2}} \)

\( (h^{-1})'(x) = \dfrac{1}{\sqrt {1+x^2}} \)