Se presentan las fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x) y csc(x), en cálculo, junto con varios ejemplos que involucran productos, sumas y cocientes de funciones trigonométricas.
Fórmulas Para las Derivadas de las Funciones Trigonométricas
1 - Derivada de sin x
La derivada de \( f(x) = \sin x \) es
\( f '(x) = \cos x \)
2 - Derivada de cos x
La derivada de \( f(x) = \cos x \) es
\( f '(x) = - \sin x \)
3 - Derivada de tan x
La derivada de \( f(x) = \tan x \) es
\( f '(x) = \sec^{2} x \)
4 - Derivada de cot x
La derivada de \( f(x) = \cot x \) es
\( f '(x) = - \csc^{2} x \)
5 - Derivada de sec x
La derivada de \( f(x) = \sec x \) es
\( f '(x) = \sec(x) \tan(x) \)
6 - Derivada de csc x
La derivada de \( f(x) = \csc x \) es
\( f '(x) = - \csc x \cot x \)
Ejemplos Usando las Derivadas de las Funciones Trigonométricas
Ejemplo 1
Encuentra la primera derivada de \( f(x) = x \sin x \)
Solución al Ejemplo 1:
Sea \( g(x) = x \) y \( h(x) = \sin x \), la función \( f \) puede considerarse como el producto de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = g(x) h(x) \). Por lo tanto, usamos la regla del producto, \( f '(x) = g(x) h '(x) + h(x) g '(x) \), para diferenciar la función \( f \) de la siguiente manera
\( f '(x) = x \cos x + \sin x \cdot
1 = x \cos x + \sin x \)
Ejemplo 2
Encuentra la primera derivada de \( f(x) = \tan x + \sec x \)
Solución al Ejemplo 2:
Sea \( g(x) = \tan x \) y \( h(x) = \sec x \), la función \( f \) puede considerarse como la suma de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \). Por lo tanto, usamos la regla de la suma, \( f '(x) = g '(x) + h '(x) \), para diferenciar la función \( f \) de la siguiente manera
\( f '(x) = \sec^{2} x + \sec x \tan x = \sec x (\sec x + \tan x) \)
Ejemplo 3
Encuentra la primera derivada de \( f(x) = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} \)
Solución al Ejemplo 3:
Sea \( g(x) = \sin x \) y \( h(x) = 1 + \cos x \), la función \( f \) puede considerarse como el cociente de las funciones \( g \) y \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Por lo tanto, usamos la regla del cociente, \( f '(x) = \dfrac{h(x) g '(x) - g
(x) h '(x)}{h(x)^{2}} \), para diferenciar la función \( f \) de la siguiente manera
\( g '(x) = \cos x \)
\( h '(x) = - \sin x \)
\( f '(x) = \dfrac{(1 + \cos x)(\cos x) - (\sin x)(- \sin x)}{(1 + \cos x)^{2}} \)
\( = \dfrac{\cos x + \cos^{2} x + \sin^{2} x}{(1 + \cos x)^{2}} \)
Usa la identidad trigonométrica \( \cos^{2} x + \sin^{2} x = 1 \) para simplificar lo anterior
\( f '(x) = \dfrac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^{2}} = \dfrac{1}{\cos x + 1} \)
