Se presentan ejemplos de Diferenciación implícita con soluciones detalladas.
Explicación de la Diferenciación Implícita
Cuando se nos da una función \( y \) explícitamente en términos de \( x \), usamos las reglas y fórmulas de diferenciación para encontrar la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \). Como ejemplo, sabemos cómo encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \) si \( y = 2 x^3 - 2 x + 1 \).
En algunas otras situaciones, sin embargo,
en lugar de una función dada explícitamente, se nos da una ecuación que incluye términos en \( y \) y \( x \) y se nos pide encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \). Por ejemplo, se nos da una ecuación que relaciona \( y \) y \( x \) de la siguiente manera: \( x y + y^2 = 1 \) y se nos pide encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \).
La idea principal de la diferenciación implícita es diferenciar ambos lados de la ecuación dada y luego resolver la nueva ecuación obtenida para encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \).
Ejemplos de Diferenciación Implícita
Ejemplos
Ejemplo 1
Usa diferenciación implícita para encontrar la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) donde \( y x + \sin y = 1 \)
Solución al Ejemplo 1:
Diferencia ambos lados de la ecuación dada y usa la regla de suma de la diferenciación para el término completo en el lado izquierdo de la ecuación dada.
\( \dfrac{d}{dx}[xy] + \dfrac{d}{dx}[\sin y] = \dfrac{d}{dx}[1] \) .
Diferencia cada término anterior usando la regla del producto para \( \dfrac{d}{dx}[x y] \) y la regla de la cadena para \( \dfrac{d}{dx}[\sin y] \).
\( x \dfrac{dy}{dx} + y + \dfrac{dy}{dx} \cos(y) = 0 \).
Nota que al calcular \( \dfrac{d}{dx}[\sin y] \), usamos la regla de la cadena ya que \( y \) es en sí misma una función de \( x \) y \( \sin (y) \) es una función de una función.
Resuelve para \( \dfrac{dy}{dx} \) para obtener.
\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{x + \cos y} \)
Ejemplo 2
Usa diferenciación implícita para encontrar la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) donde \( y^{4} + x y^{2} + x = 3 \)
Solución al Ejemplo 2:
Usa la fórmula de diferenciación de una suma para el lado izquierdo de la ecuación dada.
\( \dfrac{d[y^{4}]}{dx} + \dfrac{d[xy^{2}]}{dx
} + \dfrac{d[x]}{dx} = \dfrac{d[3]}{dx} \)
Diferencia cada término anterior usando la regla de la potencia, la regla del producto y la regla de la cadena.
\( 4y^{3} \dfrac{dy}{dx} + (1) y^{2} + x 2y \dfrac{dy}{dx} + 1 = 0 \)
Encuentra todos los puntos en la gráfica de la ecuación
\( x^{2} + y^{2} = 4 \)
donde las líneas tangentes son paralelas a la línea \( x + y = 2 \)
Solución al Ejemplo 3:
Reescribe la línea dada \( x + y = 2 \) en forma de pendiente ordenada: \( y = -x + 2 \) e identifica la pendiente como \( m = -1 \). Las líneas tangentes son paralelas a esta línea y, por lo tanto, su pendiente es igual a \( -1 \). La pendiente de las líneas tangentes en un punto se puede encontrar mediante diferenciación implícita de \( x^{2} + y^{2} = 4 \)
\( 2x + 2y \dfrac{dy}{dx} = 0 \)
Sea \( P(a , b) \) el punto de tangencia. En el punto \( P \), la pendiente es \( -1 \). Sustituyendo \( x \) por \( a \), \( y \) por \( b \) y \( \dfrac{dy}{dx} \) por \( -1 \) en la ecuación anterior, obtenemos
\( 2a + 2b (-1) = 0 \)
El punto \( P(a , b) \) está en la gráfica de \( x^{2} + y^{2} = 4 \), por lo tanto
\( a^{2} + b^{2} = 4 \)
Resuelve el sistema de ecuaciones: \( 2a - 2b = 0 \) y \( a^{2} + b^{2} = 4 \) para obtener dos puntos
\( (- \sqrt{2} , - \sqrt{2}) \) y \( (\sqrt{2} , \sqrt{2}) \)
Ejercicios
Usa diferenciación implícita para encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \) para cada ecuación dada a continuación.
1) \( x e^{y} = 3 \)
2) \( x^{2} + y^{2} = 20 \)
3) \( x \sin(x y) = x \)