Diferenciación Implícita

Se presentan ejemplos de Diferenciación implícita con soluciones detalladas.

Explicación de la Diferenciación Implícita

Cuando se nos da una función \( y \) explícitamente en términos de \( x \), usamos las reglas y fórmulas de diferenciación para encontrar la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \). Como ejemplo, sabemos cómo encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \) si \( y = 2 x^3 - 2 x + 1 \).
En algunas otras situaciones, sin embargo, en lugar de una función dada explícitamente, se nos da una ecuación que incluye términos en \( y \) y \( x \) y se nos pide encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \). Por ejemplo, se nos da una ecuación que relaciona \( y \) y \( x \) de la siguiente manera: \( x y + y^2 = 1 \) y se nos pide encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \).
La idea principal de la diferenciación implícita es diferenciar ambos lados de la ecuación dada y luego resolver la nueva ecuación obtenida para encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \).

Ejemplos de Diferenciación Implícita

Ejemplos

Ejemplo 1

Usa diferenciación implícita para encontrar la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) donde \( y x + \sin y = 1 \)
Solución al Ejemplo 1:

Ejemplo 2

Usa diferenciación implícita para encontrar la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) donde \( y^{4} + x y^{2} + x = 3 \)
Solución al Ejemplo 2:

Ejemplo 3

Encuentra todos los puntos en la gráfica de la ecuación
\( x^{2} + y^{2} = 4 \)

donde las líneas tangentes son paralelas a la línea \( x + y = 2 \)
Solución al Ejemplo 3:

Ejercicios

Usa diferenciación implícita para encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \) para cada ecuación dada a continuación.
1) \( x e^{y} = 3 \)
2) \( x^{2} + y^{2} = 20 \)
3) \( x \sin(x y) = x \)

Soluciones a los Ejercicios Anteriores

1) \( \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{x} \)
2) \( \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{x}{y} \)
3) \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - \sin(x y) -x y \cos(x y)}{x^{2} \cos(x y)} \)

Más Referencias y Enlaces

Tablas de Fórmulas para Derivadas
Reglas de Diferenciación de Funciones en Cálculo
diferenciación y derivadas