Diferenciación logarítmica

El método de diferenciación logarítmica , cálculo , utiliza las propiedades de las funciones logarítmicas para diferenciar funciones y funciones complicadas donde las fórmulas habituales de Diferenciación no se aplica. Se presentan varios ejemplos con soluciones detalladas.

Ejemplo 1: Usa el método de tomar logaritmos para encontrar la derivada y ', si y es dada por

Solución al Ejemplo 1

• Primero notamos que no hay una fórmula que se pueda usar para diferenciar directamente esta función. La primera derivada puede calcularse tomando primero el logaritmo natural de ambos lados de y = x ^{sin x} .
  ln y = ln [ x ^{sin x} ]
  
• Use las propiedades del logaritmo para reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera
  ln y = sin x ln x
  
• Ahora diferenciamos ambos lados con respecto a x, usando elregla de cadena en el lado izquierdo y el fórmula de regla de producto para la diferenciación en el lado derecho.
  y ' / y = cos x ln x + sin x (1/x)
  
• Multiplica ambos lados por y para obtener
  y ' = [ cos x ln x + (1/x) sin x ] y
  y ' = [ cos x ln x + (1/x) sin x ] x ^{sin x}

Ejemplo 2: Encuentre la derivada y 'de la función y definida por

Solución al Ejemplo 2

• Tomamos los logaritmos de ambos lados
  ln y = ln x + ln e ^{(-x 2)}
  
• Simplifica el término ln e ^{(-x 2)}
  ln y = ln x - x ²
  
• Diferenciar ambos lados con respecto a x.
  y ' / y = 1 / x + 2 x
  
• Multiplica todos los términos por y
  y ' = [ 1 / x + 2 x ] y
  y ' = [ 1 / x + 2 x ] x e ^{(-x 2)}
  y ' = [ 1 + 2 x ² ] e ^{(-x 2)}

Ejemplo 3: Encuentre la derivada y ' de la función y dada por

Solución al Ejemplo 3

• Tomamos los logaritmos de ambos lados
  ln y = ln 3 + ln x ² + ln e ^-x
  
• Simplifica el término ln e ^-x
  ln y = ln 3 + 2 ln x - x
  
• Diferenciar ambos lados con respecto a x.
  y ' / y = 0 + 2 / x - 1
  
• Multiplica todos los términos por y
  y ' = [ 2 / x - 1 ] y
  y ' = [ 2 / x - 1 ] 3 x ² e ^-x
  y ' = [ 6 x - 3 x ² ] e ^-x
  y ' = 3 x [ 2 - x ] e ^-x
  NOTA: como ejercicio, use la fórmula habitual de diferenciación para diferenciar la función anterior y comparar los resultados.

Example 4: Find the derivative y ' of function y given by

Solución al Ejemplo 4

• Tome los logaritmos de ambos lados y amplíe las expresiones obtenidas
  ln y = 2 ln (1 - x) + 4 ln (x + 1)
  
• Diferenciar ambos lados con respecto a x.
  y ' / y = - 2 / (1 - x) + 4 / (x + 1)
  
• Multiplica todos los términos por y
  y ' = [ - 2 / (1 - x) + 4 / (x + 1) ] y
  y ' = [ - 2 / (1 - x) + 4 / (x + 1) ] (1 - x) ² (x + 1) ⁴
  y ' = - 2 (1 - x)(x + 1) ⁴ + 4 (x + 1) ³(1 - x) ²
  y ' = 2 (1 - x)(x + 1) ³ (3x - 1)
  NOTA: utilice la fórmula habitual de diferenciación para diferenciar la función anterior y comparar los resultados.

Ejemplo 5: Encuentre la derivada y 'de la función y definida por

Solución al Ejemplo 5

• Toma los logaritmos de ambos lados
  ln y = ln (tan x) - ln e ^x
  
• Simplificar ln e ^x.
  ln y = ln (tan x) - x
  
• Diferenciar ambos lados con respecto a x
  y ' / y = sec x / tan x - 1
  
• Multiplica todos los términos por y
  y ' = [ sec x / tan x - 1 ] y
  y ' = [ sec ²x / tan x -1 ] tan x / e ^x
  y ' = [ sec ²x - tan x ] / e ^x
  NOTA: utilice la fórmula habitual de diferenciación para diferenciar la función anterior y comparar los resultados.

Ejemplo 6: Encuentre la derivada y ' de la función y dada por

Solución al Ejemplo 6

• Toma los logaritmos de ambos lados y expande las expresiones obtenidas
  ln y = ln (x - 2) + ln (x + 4) - ln (x + 1) - ln (x + 5)
  
• Diferenciar ambos lados con respecto a x
  y ' / y = 1 / (x - 2) + 1 / (x + 4) - 1 / (x + 1) - 1 / (x + 5)
  
• Multiplica todos los términos por y
  y ' = [ 1 / (x - 2) + 1 / (x + 4) - 1 / (x + 1) - 1 / (x + 5) ] y
  
• Sustituye y por su fórmula para obtener
  y ' = 2 [ 2x ² + 13 x + 29] / [ (x + 1) ² (x + 5) ² ]
  NOTA: utilice la fórmula habitual de diferenciación para diferenciar la función anterior y comparar los resultados.

Example 7: Usa el método de tomar los logaritmos para encontrar y ' si y = u v, donde u y v son funciones de x.

Solución al Ejemplo 7

• Toma los logaritmos de ambos lados y expande las expresiones obtenidas
  ln y = ln u + ln v
  
• Diferenciar ambos lados con respecto a x
  y ' / y = u ' / u + v ' / v
  
• Multiplique todos los términos por y y simplifique para obtener y ' = [ u ' / u + v ' / v ] y
  y ' = [ u ' / u + v ' / v ] u v
  y ' = u ' v + v ' u
  NOTA: El resultado obtenido es el bien conocido regla de producto de diferenciación.

Ejemplo 8: Usa el método de tomar los logaritmos para encontrar y ' si y = u / v, donde u e v son funciones de x.

Solución al Ejemplo 8

• Tome los logaritmos de ambos lados y expanda las expresiones obtenidas usando las propiedades del logaritmo
  ln y = ln u - ln v
  
• Diferenciar ambos lados con respecto a x usando la regla de diferenciación del logaritmo de una función
  y ' / y = u ' / u - v ' / v
  
• Multiplique todos los términos por y y simplifique para obtener
  y ' = [ u ' / u - v ' / v ] y
  y ' = [ u ' / u - v ' / v ] [ u / v ]
  y ' = u ' / v - v ' u / [ v ² ]
  y ' = [ u ' v - v ' u ] / [ v ² ]
  NOTA: El resultado obtenido es el bien conocido regla de cociente de diferenciación de funciones. .

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