El método de diferenciación logarítmica, cálculo, utiliza las propiedades de las funciones logarítmicas para diferenciar funciones complicadas y funciones donde las fórmulas habituales de Diferenciación no se aplican. Se presentan varios ejemplos con soluciones detalladas.
Ejemplo 1
\[ y = x^{ \sin x } \]
Solución al Ejemplo 1
Primero notamos que no hay una fórmula que se pueda utilizar para diferenciar directamente esta función. La primera derivada se puede calcular tomando primero el logaritmo natural de ambos lados de \( y = x^{ \sin x } \).
\( \ln y = \ln \left( x^{ \sin x } \right) \)
Usa las propiedades de los logaritmos para reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera
\( \ln y = \sin x \ln x \)
Ahora diferenciamos ambos lados con respecto a \( x \), utilizando la regla de la cadena en el lado izquierdo y la fórmula de la regla del producto para diferenciación en el lado derecho.
\( \dfrac{y'}{y} = \cos x \ln x + \sin x \left( \dfrac{1}{x} \right) \)
Multiplica ambos lados por \( y \) para obtener
\( y' = \left( \cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x} \right) y \)
Sustituye \( y = x^{ \sin x }\)
\( y' = \left( \cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x} \right) x^{ \sin x } \)
Ejemplo 2
Encuentra la derivada \( y' \) de la función \( y \) definida por
\[ y = x e^{ (-x^{2}) } \]
Solución al Ejemplo 2
Tomamos los logaritmos de ambos lados
\( \ln y = \ln x + \ln e^{ (-x^{2}) } \)
Simplifica el término \( \ln e^{ (-x^{2}) } \)
\( \ln y = \ln x - x^{2} \)
Diferencia ambos lados con respecto a \( x
\).
\( \dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{x} - 2x \)
Multiplica todos los términos por \( y \) y simplifica
\( y' = \left( \dfrac{1}{x} - 2x \right) y \)
Sustituye \( y = x e^{ (-x^{2})} \)
\( y' = \left( \dfrac{1}{x} - 2x \right) x e^{ (-x^{2}) } \)
Simplifica
\( y' = e^{ (-x^{2})} - 2x^2 e^{ (-x^{2}) } \)
Ejemplo 3
Encuentra la derivada \( y' \) de la función \( y \) dada por
\[ y = 3 x^{2} e^{ -x } \]
Solución al Ejemplo 3
Tomamos los logaritmos de ambos lados de la función dada
\( \ln y = \ln 3 + \ln x^{2} + \ln e^{ -x } \)
Simplifica el término \( \ln e^{ -x } \)
\( \ln y = \ln 3 + 2 \ln x - x \)
Diferencia ambos lados con respecto a \( x \).
\( \dfrac{y'}{y} = 0 + \dfrac{2}{x} - 1 \)
Multiplica todos los términos por \( y \)
\( y' = \left( \dfrac{2}{x} - 1 \right) y \)
Sustituye \( y = 3 x^{2} e^{ -x } \)
\( y' = \left( \dfrac{2}{x} - 1 \right) 3 x^{2} e^{ -x } \)
Reescribe como
\( y' = 3x \left( 2 - x \right) e^{ -x } \)
NOTA: Como ejercicio, utiliza la fórmula habitual de diferenciación para diferenciar la función anterior y compara
resultados.
Ejemplo 4
Encuentra la derivada \( y' \) de la función \( y \) dada por
\[ y = (1 - x)^{2} (x + 1)^{4} \]
Solución al Ejemplo 4
Tomamos los logaritmos de ambos lados y expandimos las expresiones obtenidas
\( \ln y = 2 \ln (1 - x) + 4 \ln (x + 1) \)
Diferenciamos ambos lados con respecto a \( x \).
\( \dfrac{y'}{y} = -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \)
Multiplica todos los términos por \( y \) y simplifica
\( y' = \left( -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \right) y \)
\( y' = \left( -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \right) (1 - x)^{2} (x + 1)^{4} \)
\( y' = -2\left(1-x\right)\left(x+1\right)^4+4\left(x+1\right)^3\left(1-x\right)^2 \)
NOTA: Utiliza la fórmula habitual de diferenciación para diferenciar la función anterior y compara resultados.
Ejemplo 5
Encuentra la derivada \( y' \) de la función \( y \) definida por
\[ y = \dfrac{ \tan x }{ e^{ x } } \]
Solución al Ejemplo 5
Tomamos los logaritmos de ambos lados
\( \ln y = \ln (\tan x) - \ln e^{ x } \)
Simplifica \( \ln e^{ x } \).
\( \ln y = \ln (\tan x) - x \)
Diferenciamos ambos lados con respecto a \( x \)
\( \dfrac{y'}{y} = \dfrac{\sec^{2} x}{\tan x} - 1 \)
Multiplica todos los términos por \( y \)
\( y' = \left( \dfrac{\sec^{2} x}{\tan x} - 1 \right) y \)
\( y' = \left( \dfrac{\sec^{2} x}{\tan x} - 1 \right) \dfrac{\tan x}{e^{ x }} \)
Simplifica
\( y' = \dfrac{\sec^{2} x - \tan x}{e^{ x }} \)
NOTA: Utiliza la fórmula habitual de diferenciación para diferenciar la función anterior y compara resultados.
Ejemplo
6
Encuentra la derivada \( y' \) de la función \( y \) dada por
\[ y = \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{(x + 1)(x + 5)} \]
Solución al Ejemplo 6
Tomamos los logaritmos de ambos lados y expandimos las expresiones obtenidas
\( \ln y = \ln (x - 2) + \ln (x + 4) - \ln (x + 1) - \ln (x + 5) \)
Diferenciamos ambos lados con respecto a \( x \)
\( \dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{(x - 2)} + \dfrac{1}{(x + 4)} - \dfrac{1}{(x + 1)} - \dfrac{1}{(x + 5)} \)
Multiplica todos los términos por \( y \) y simplifica para obtener
\( y' = \left( \dfrac{1}{(x - 2)} + \dfrac{1}{(x + 4)} - \dfrac{1}{(x + 1)} - \dfrac{1}{(x + 5)} \right) y \)
\( y' = \left( \dfrac{1}{(x - 2)} + \dfrac{1}{(x + 4)} - \dfrac{1}{(x + 1)} - \dfrac{1}{(x + 5)} \right) \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{(x + 1)(x + 5)} \)
\( y' = \dfrac{2(2x^{2} + 13x + 29)}{(x + 1)^{2}(x + 5)^{2}} \)
NOTA: Utiliza la fórmula habitual de diferenciación para diferenciar la función anterior y compara resultados.
Ejemplo 7
Utiliza el método de tomar los logaritmos para encontrar \( y' \) si \( y = uv \), donde \( u \) y \( v \) son funciones de \( x \).
Solución al Ejemplo 7
Tomamos los logaritmos de ambos lados y expandimos las expresiones obtenidas
\( \ln y = \ln u + \ln v \)
Diferenciamos ambos lados con respecto a \( x \)
\( \dfrac{y'}{y} = \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \)
Multiplica todos los términos por \( y \) y simplifica para obtener
\( y' = \left( \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \right) y \)
\( y' = \left( \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \right) uv \)
\( y' = u'v + v'u \)
NOTA: El resultado obtenido es la conocida regla del producto de diferenciación.
Ejemplo 8
Utiliza el método de tomar los logaritmos para encontrar \( y' \) si \( y = \dfrac{u}{v} \), donde \( u \) y \( v \) son funciones de \( x \).
Solución al Ejemplo 8
Tomamos los logaritmos de ambos lados y expandimos las expresiones obtenidas utilizando las propiedades del logaritmo
\( \ln y = \ln u - \ln v \)
Diferenciamos ambos lados con respecto a \( x \) utilizando la regla de diferenciación del logaritmo de una función
\( \dfrac{y'}{y} = \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \)
Multiplica todos los términos por \( y \) y simplifica para obtener
\( y' = \left( \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \right) y \)
\( y' = \left( \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \right) \dfrac{u}{v} \)
\( y' = \dfrac{u'v - v'u}{v^{2}} \)
NOTA: El resultado obtenido es la conocida regla del cociente de diferenciación de funciones.
