Método de Diferenciación Logarítmica
El método de diferenciación logarítmica, cálculo, utiliza las propiedades de las funciones logarítmicas para diferenciar funciones complicadas y funciones donde las fórmulas usuales de Diferenciación no se aplican. Se presentan varios ejemplos con soluciones detalladas.
Ejemplo 1
\[ y = x^{ \sin x } \]
Solución al Ejemplo 1
Primero notamos que no hay fórmula que pueda usarse para diferenciar directamente esta función. La primera derivada puede calcularse tomando primero el logaritmo natural de ambos lados de \( y = x^{ \sin x } \).
\[ \ln y = \ln \left( x^{ \sin x } \right) \]
Usa propiedades de logaritmos para reescribir la ecuación anterior de la siguiente manera
\[ \ln y = \sin x \ln x \]
Ahora diferenciamos ambos lados con respecto a \( x \), usando la regla de la cadena en el lado izquierdo y la fórmula de la regla del producto para diferenciación en el lado derecho.
\[ \dfrac{y'}{y} = \cos x \ln x + \sin x \left( \dfrac{1}{x} \right) \]
Multiplica ambos lados por \( y \) para obtener
\[ y' = \left( \cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x} \right) y \]
Sustituye \( y = x^{ \sin x }\)
\[ y' = \left( \cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x} \right) x^{ \sin x } \]
Ejemplo 2
Encuentra la derivada \( y' \) de la función \( y \) definida por
\[ y = x e^{ (-x^{2}) } \]
Solución al Ejemplo 2
Tomamos los logaritmos de ambos lados
\[ \ln y = \ln x + \ln e^{ (-x^{2}) } \]
Simplifica el término \( \ln e^{ (-x^{2}) } \)
\[ \ln y = \ln x - x^{2} \]
Diferencia ambos lados con respecto a \( x \).
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{x} - 2x \]
Multiplica todos los términos por \( y \) y simplifica
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x} - 2x \right) y \]
Sustituye \( y = x e^{ (-x^{2})} \)
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x} - 2x \right) x e^{ (-x^{2}) } \]
Simplifica
\[ y' = e^{ (-x^{2})} - 2x^2 e^{ (-x^{2}) } \]
Ejemplo 3
Encuentra la derivada \( y' \) de la función \( y \) dada por
\[ y = 3 x^{2} e^{ -x } \]
Solución al Ejemplo 3
Tomamos los logaritmos de ambos lados de la función dada
\[ \ln y = \ln 3 + \ln x^{2} + \ln e^{ -x } \]
Simplifica el término \( \ln e^{ -x } \)
\[ \ln y = \ln 3 + 2 \ln x - x \]
Diferencia ambos lados con respecto a \( x \).
\[ \dfrac{y'}{y} = 0 + \dfrac{2}{x} - 1 \]
Multiplica todos los términos por \( y \)
\[ y' = \left( \dfrac{2}{x} - 1 \right) y \]
Sustituye \( y = 3 x^{2} e^{ -x } \)
\[ y' = \left( \dfrac{2}{x} - 1 \right) 3 x^{2} e^{ -x } \]
Reescribe como
\[ y' = 3x \left( 2 - x \right) e^{ -x } \]
NOTA: Como ejercicio, usa la fórmula usual de diferenciación para diferenciar la función anterior y compara los resultados.
Ejemplo 4
Encuentra la derivada \( y' \) de la función \( y \) dada por
\[ y = (1 - x)^{2} (x + 1)^{4} \]
Solución al Ejemplo 4
Toma los logaritmos de ambos lados y expande las expresiones obtenidas
\[ \ln y = 2 \ln (1 - x) + 4 \ln (x + 1) \]
Diferencia ambos lados con respecto a \( x \).
\[ \dfrac{y'}{y} = -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \]
Multiplica todos los términos por \( y \) y simplifica
\[ y' = \left( -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \right) y \]
\[ y' = \left( -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \right) (1 - x)^{2} (x + 1)^{4} \]
\[ y' = -2\left(1-x\right)\left(x+1\right)^4+4\left(x+1\right)^3\left(1-x\right)^2 \]
NOTA: Usa la fórmula usual de diferenciación para diferenciar la función anterior y compara los resultados.
Ejemplo 5
Encuentra la derivada \( y' \) de la función \( y \) definida por
\[ y = \dfrac{ \tan x }{ e^{ x } } \]
Solución al Ejemplo 5
Toma los logaritmos de ambos lados
\[ \ln y = \ln (\tan x) - \ln e^{ x } \]
Simplifica \( \ln e^{ x } \).
\[ \ln y = \ln (\tan x) - x \]
Diferencia ambos lados con respecto a \( x \)
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{\sec^{2} x}{\tan x} - 1 \]
Multiplica todos los términos por \( y \)
\[ y' = \left( \dfrac{\sec^{2} x}{\tan x} - 1 \right) y \]
\[ y' = \left( \dfrac{\sec^{2} x}{\tan x} - 1 \right) \dfrac{\tan x}{e^{ x }} \]
Simplifica
\[ y' = \dfrac{\sec^{2} x - \tan x}{e^{ x }} \]
NOTA: Usa la fórmula usual de diferenciación para diferenciar la función anterior y compara los resultados.
Ejemplo 6
Encuentra la derivada \( y' \) de la función \( y \) dada por
\[ y = \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{(x + 1)(x + 5)} \]
Solución al Ejemplo 6
Toma los logaritmos de ambos lados y expande las expresiones obtenidas
\[ \ln y = \ln (x - 2) + \ln (x + 4) - \ln (x + 1) - \ln (x + 5) \]
Diferencia ambos lados con respecto a \( x \)
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{(x - 2)} + \dfrac{1}{(x + 4)} - \dfrac{1}{(x + 1)} - \dfrac{1}{(x + 5)} \]
Multiplica todos los términos por \( y \) y simplifica para obtener
\[ y' = \left( \dfrac{1}{(x - 2)} + \dfrac{1}{(x + 4)} - \dfrac{1}{(x + 1)} - \dfrac{1}{(x + 5)} \right) y \]
\[ y' = \left( \dfrac{1}{(x - 2)} + \dfrac{1}{(x + 4)} - \dfrac{1}{(x + 1)} - \dfrac{1}{(x + 5)} \right) \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{(x + 1)(x + 5)} \]
\[ y' = \dfrac{2(2x^{2} + 13x + 29)}{(x + 1)^{2}(x + 5)^{2}} \]
NOTA: Usa la fórmula usual de diferenciación para diferenciar la función anterior y compara los resultados.
Ejemplo 7
Usa el método de tomar logaritmos para encontrar \( y' \) si \( y = uv \), donde \( u \) y \( v \) son funciones de \( x \).
Solución al Ejemplo 7
Toma los logaritmos de ambos lados y expande las expresiones obtenidas
\[ \ln y = \ln u + \ln v \]
Diferencia ambos lados con respecto a \( x \)
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \]
Multiplica todos los términos por \( y \) y simplifica para obtener
\[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \right) y \]
\[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \right) uv \]
\[ y' = u'v + v'u \]
NOTA: El resultado obtenido es la conocida regla del producto de diferenciación.
Ejemplo 8
Usa el método de tomar logaritmos para encontrar \( y' \) si \( y = \dfrac{u}{v} \), donde \( u \) y \( v \) son funciones de \( x \).
Solución al Ejemplo 8
Toma los logaritmos de ambos lados y expande las expresiones obtenidas usando las propiedades de los logaritmos
\[ \ln y = \ln u - \ln v \]
Diferencia ambos lados con respecto a \( x \) usando la regla de diferenciación del logaritmo de una función
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \]
Multiplica todos los términos por \( y \) y simplifica para obtener
\[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \right) y \]
\[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \right) \dfrac{u}{v} \]
\[ y' = \dfrac{u'v - v'u}{v^{2}} \]
NOTA: El resultado obtenido es la conocida regla del cociente de diferenciación de funciones.
Más Referencias y Enlaces
diferenciación y derivadas